Série d'Exercices Corrigés : Équations et Systèmes
Bienvenue sur AltiMath. La maîtrise des mathématiques passe inévitablement par la pratique régulière. Cette série d'exercices a été conçue pour consolider vos acquis sur les deux piliers de l'algèbre : les équations du second degré et les systèmes d'équations.
💡 Note de Prof. Jamal : "Dans mes 18 ans de carrière, j'ai constaté que les élèves les plus performants sont ceux qui font le lien entre ces deux chapitres. Cette série vous propose des exercices progressifs pour forger ce réflexe."
📚 Avant de pratiquer : Rappels théoriques
Pour réussir cette série, assurez-vous de bien maîtriser les concepts fondamentaux. Consultez nos guides détaillés :
1. Équations du Second Degré
Pour résoudre $ax^2 + bx + c = 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
- $\Delta > 0$ : Deux racines $x_1$ et $x_2$.
- $\Delta = 0$ : Une racine double $x_0 = -b/2a$.
- $\Delta < 0$ : Aucune solution dans $\mathbb{R}$.
2. Systèmes d'Équations
Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, nous utilisons deux approches :
- Méthode Analytique : Par substitution ou par combinaison linéaire.
- Méthode Graphique : Intersection de deux droites dans un repère.
📚 Rappels importants avant de commencer :
- 🔗 Cours 1 : Maîtriser les Équations du Second Degré (Δ)
- 🔗 Cours 2 : Résolution Analytique et Graphique des Systèmes
Pour réussir vos examens, la théorie ne suffit pas. Cette série regroupe des situations variées allant de l'application directe aux problèmes de synthèse. Conseil de l'Expert : Essayez de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 : Équations du 2éme Degré
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
▼ Voir la Solution Détaillée
$= 25 - 24 = 1$.
2. $\Delta > 0$, donc deux racines :
$x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}$ $\quad$ et $\quad$ $x_2 = \frac{5 + 1}{6} = 1$.
$S = \{ \frac{2}{3} ; 1 \}$
Exercice 2 : Systèmes d'Équations
Résoudre par la méthode de combinaison linéaire :
▼ Voir la Solution Détaillée
$$\begin{cases} 4x + 6y = 14 \\ 15x - 6y = 24 \end{cases}$$
- En remplaçant $x$ par 2 dans (L1) : $4 + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow \mathbf{y = 1}$.
$S = \{ (2 ; 1) \}$
Situation-Problème : Le Rectangle d'Or
Un terrain rectangulaire a un périmètre de 20 mètres et une aire de 24 mètres carrés.
Question : Quelles sont les dimensions (longueur $L$ et largeur $l$) de ce terrain ?
Méthodologie de Résolution :
- Mise en système : Utilisez $P = 2(L + l) = 20$ et $A = L \times l = 24$.
- Substitution : Exprimez $l$ en fonction de $L$ ($l = 10 - L$).
- Équation du 2nd degré : Remplacez dans l'aire pour obtenir $L(10 - L) = 24$.
▼ Voir la résolution complète (Expertise 18 ans)
1. Calcul du discriminant : $\Delta = (-10)^2 - 4(1)(24)$
$\quad= 100 - 96 = 4$.
2. Racines : $L_1 = \frac{10-2}{2} = 4 \quad \text{et} \quad L_2 = \frac{10+2}{2} = 6$ Conclusion : La longueur est de 6m et la largeur est de 4m.
Exercice 3 : Équations Bicarrées (Changement de variable)
C'est une question classique pour tester la rigueur des élèves. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation :
▼ Voir la méthode de l'Expert
2. Résolution : $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 9$. Les solutions pour $X$ sont $X_1 = 1$ et $X_2 = 4$.
3. Retour à $x$ :
$x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ ou $x = -1$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ ou $x = -2$.
$S = \{ -2 ; -1 ; 1 ; 2 \}$
Exercice 4 : Application aux Problèmes Économiques
Un commerçant achète 30 articles de deux types différents : Type A à 50 DH et Type B à 80 DH. Le montant total est de 1800 DH. Quel est le nombre d'articles de chaque type ?
▼ Voir la Modélisation
Le système est : $$\begin{cases} x + y = 30 \\ 50x + 80y = 1800 \end{cases}$$
Situation-Problème : Les Dimensions du Terrain
Énoncé : Un terrain rectangulaire a un périmètre de 20 mètres et une aire de 24 mètres carrés.
Question : Quelles sont les dimensions (longueur $L$ et largeur $l$) de ce terrain ?
🛠️ Méthodologie de Résolution :
- Choix des inconnues : Soit $L$ la longueur et $l$ la largeur.
- Mise en système :
- Demi-périmètre : $L + l = 10$
- Aire : $L \times l = 24$ - Substituion : Exprimez $l$ en fonction de $L$ ($l = 10 - L$).
- Équation du 2nd degré : Remplacez dans l'aire pour obtenir $L(10 - L) = 24$.
▼ Voir la résolution détaillée (Expertise 18 ans)
1. Calcul du discriminant :
$\Delta = (-10)^2 - 4(1)(24)$
$\quad= 100 - 96 = \mathbf{4}$.
$L_1 = \frac{10 - \sqrt{4}}{2} = 4$
et $\quad L_2 = \frac{10 + \sqrt{4}}{2} = 6$.
Conclusion : Les dimensions du terrain sont 6 mètres et 4 mètres.
Exercices : Factorisation et Étude du Signe
Maîtriser le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ est essentiel pour résoudre les inéquations. Voici des exercices progressifs avec leurs corrections détaillées.
Exercice 1 : Forme Factorisée
Donner la forme factorisée (si possible) du trinôme suivant :
▼ Voir la correction
$\quad= 25 - 16 = 9$.
- Les racines sont $x_1 = \frac{1}{2}$ et $x_2 = 2$.
- La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ :
Exercice 2 : Étude du Signe
Étudier le signe du trinôme suivant sur $\mathbb{R}$ :
▼ Voir l'analyse de l'Expert
- Puisque $\Delta < 0$, le trinôme ne s'annule jamais.
- Le signe de $Q(x)$ est celui de $a$ ($a = -1$).
Conclusion : $Q(x) < 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
💡 Le Secret de Prof. Jamal : "Dans le tableau de signe, rappelez-vous toujours : à l'extérieur des racines, c'est le signe de $a$. À l'intérieur, c'est le signe opposé de $a$. Cette règle est votre boussole !"
🟢 Niveau 1 : Base (Fondamentaux)
Objectif : Calculer $\Delta$ et résoudre une équation simple.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $2x^2 - 3x + 1 = 0$
▼ Voir l'astuce de calcul
🟠 Niveau 2 : Avancé (Intermédiaire)
Objectif : Résoudre un système par combinaison linéaire.
▼ Voir la stratégie de résolution
🔴 Niveau 3 : Expert (Synthèse)
Situation : Trouver deux nombres dont la somme est 15 et le produit est 54.
"Un défi classique des olympiades locales."
▼ Voir l'approche mathématique
$\Delta = 225 - 216 = 9$. Les nombres sont 6 et 9.
🧠 Défis Logiques : Résolution de Problèmes
Apprendre à modéliser le réel en langage mathématique
🟢 Niveau 1 : Le Carré Mystérieux
Énoncé : Si on augmente le côté d'un carré de $3$ cm, son aire augmente de $39$ cm². Quelle est la longueur du côté initial ?
▼ Voir la modélisation et la solution
2. Nouveau côté : $x+3$. Nouvelle aire : $(x+3)^2$.
3. Équation : $(x+3)^2 = x^2 + 39$.
4. Résolution : $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 39$
$\Rightarrow 6x = 30 \Rightarrow \mathbf{x = 5 \text{ cm}}$.
🟠 Niveau 2 : Le Choix du Commerçant
Énoncé : Un groupe de 20 personnes commande des pizzas et des salades. Le prix total est de $1700$ DH. Sachant qu'une pizza coûte $100$ DH et une salade $50$ DH, combien de pizzas ont été commandées ?
▼ Voir le système d'équations
$$ \begin{cases} x + y = 20 \\ 100x + 50y = 1700 \end{cases} $$ En résolvant par substitution : $y = 20 - x$.
$100x + 50(20 - x) = 1700$
$\Rightarrow 50x = 700$
$\Rightarrow \mathbf{x = 14 \text{ pizzas}}$.
🔴 Niveau 3 : Le Croisement des Mobiles
Énoncé : Un projectile est lancé vers le haut. Sa hauteur $h(t)$ en mètres est donnée par $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$. À quel instant $t$ le projectile touchera-t-il le sol ?
▼ Voir l'analyse de l'Expert (18 ans d'expérience)
Équation : $-5t^2 + 20t + 25 = 0$.
On simplifie par $-5$ : $t^2 - 4t - 5 = 0$.
$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 36$.
$t = \frac{4 + 6}{2} = 5$ (On rejette la valeur négative).
Réponse : Le projectile touche le sol après 5 secondes.
💡 Pourquoi maîtriser ces exercices ?
En 18 ans de métier, j'ai constaté que les examens ne se limitent plus aux calculs basiques. L'introduction du changement de variable (Exercice 3) prépare l'élève aux chapitres d'Analyse complexes. Quant à la modélisation (Exercice 4), elle constitue l'essence même des mathématiques appliquées. Sur AltiMath, mon but est de vous donner une vision transversale pour ne jamais être surpris par un énoncé original.
