Systèmes de deux équations 3AC : Méthodes de Substitution et Combinaison (Résumé & Exercices)
À la recherche d'un cours magistral sur les systemes de deux equations 3ac assorti d'applications méthodologiques rigoureuses ? Pour accompagner les élèves de la 3ème Année Collège (BIOF) vers la réussite de l'examen régional, la plateforme AltiMath dresse ce guide d'élite dédié aux systèmes linéaires du premier degré à deux inconnues. Ce chapitre charnière ne se limite pas à des manipulations algébriques isolées, mais pose les jalons de la géométrie analytique et de la mathématisation de problèmes réels. Que vous cherchiez des exercices corrigés pdf, le décryptage des méthodes de substitution et combinaison linéaire, ou une interprétation graphique claire, ce support rédigé par des experts est votre clé pour dompter les contrôles continus.
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Compétences Fondamentales du Chapitre
Check-list des savoir-faire indispensables exigés par le cadre référentiel officiel 3AC.
1️⃣ Maîtriser la résolution par substitution
Savoir exprimer de manière exacte une inconnue en fonction de l'autre ($x = \dots$ ou $y = \dots$) dans l'équation la plus simple, puis la substituer dans la seconde ligne pour obtenir et résoudre une équation linéaire à une seule variable.
2️⃣ Maîtriser la méthode de combinaison linéaire
Savoir multiplier l'une ou les deux équations par des facteurs réels judicieusement choisis afin d'obtenir des coefficients opposés pour une inconnue. Additionner ensuite membre à membre pour éliminer cette variable de façon robuste.
3️⃣ Interpréter graphiquement la solution du système
Savoir transformer les équations du système en équations réduites de droites ($y = mx + p$). Être capable de tracer ces droites dans un repère orthonormé et de lire graphiquement le couple de coordonnées $(x\;; \; y)$ du point d'intersection unique.
4️⃣ Traduire un problème concret en système d'équations
Développer l'aptitude à la mathématisation : choisir rigoureusement les deux inconnues, formuler le système à partir des données textuelles, le résoudre, puis effectuer une vérification par rapport aux contraintes concrètes du problème.
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3ème Année Collège (3AC)
Systèmes de deux Équations : Le Guide d'Excellence
Maîtrisez la Substitution, la Combinaison Linéaire et la Modélisation de problèmes pour exceller à l'examen régional.
Examen Régional : Un cours complet conforme aux cadres référentiels officiels avec exercices corrigés interactifs.
I. Vocabulaire Statistique et Tableaux
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est une structure linéaire d'ordre un. Il repose sur le concept bégagogique d'égalités simultanées, où deux équations doivent être vérifiées en même temps par un même couple de nombres réels. Résoudre un tel système revient à déterminer l'unicité du couple de solutions $(x\;; \; y)$ qui valide géométriquement et algébriquement les deux relations.
$$ \begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases} $$
💡 Avant de commencer : Pour bien comprendre ce chapitre, il est fortement recommandé de maîtriser les
équations du Second Degré.
1. Structure linéaire d'ordre un :
Les variables $x$ et $y$ sont portées exclusivement à la puissance 1 (pas de $x^2$, de $y^2$ ou de produit $xy$), ce qui signifie algébriquement que chaque équation représente de manière exacte une ligne droite dans un plan repéré.
2. Concept d'égalités simultanées :
L'accolade $\begin{cases}\dots\end{cases}$ symbolise l'obligation logique de conjonction. Trouver une solution valide pour la première ligne ne suffit pas ; le couple recherché doit équilibrer les deux balances algébriques en même temps .
3. Unicité du couple solution $(x\;; \; y)$ :
Dans la grande majorité des cas étudiés en 3ème Année Collège, le système admet un couple unique de nombres comme solution. Graphiquement, cela correspond précisément aux coordonnées cartésiennes du point d'intersection des deux droites.
💡 Remarque (L'œil du Prof) :
Gardez en tête qu'un système est avant tout un ensemble ordonné. Ne confondez jamais l'ordre du couple solution : la valeur de $x$ s'écrit toujours en premier et celle de $y$ en second soit $(x\;; \; y)$. Inverser les deux valeurs dans l'ensemble $\mathcal{S}$ est une maladresse fréquente qui annule instantanément les points de la question au correctif régional !
II. Méthodes de Résolution Analytique
Pour résoudre un système de deux équations de manière purement algébrique, le programme officiel de la 3ème Année Collège s'articule autour de deux méthodes analytiques majeures : la Substitution et la Combinaison Linéaire.
🧪 1. Méthode de Substitution (Isoler et Remplacer)
Cette stratégie algorithmique est idéale et ultra-rapide lorsqu'au moins l'une des inconnues possède un coefficient égal à $1$ ou $-1$ dans le système. Elle consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une ligne, puis à la remplacer dans la seconde ligne.
📝 Exemple d'application — Substitution :
Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système de référence suivant :
$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$$
• Étape 1 (Isoler) : Dans la première équation, le coefficient de $x$ vaut $1$. Isolons $x$ : $x = 5 - 2y$.
• Étape 2 (Substituer) : Remplaçons $x$ par cette expression dans la deuxième équation : $3(5 - 2y) - y = 1$.
• Étape 3 (Résoudre) : Développons rigoureusement : $15 - 6y - y = 1 \implies 15 - 7y = 1 \implies -7y = -14 \implies y = \dfrac{-14}{-7} = 2$.
• Étape 4 (Calcul final) : Remplaçons $y = 2$ dans l'expression isolée de $x$ : $x = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$.
L'ensemble des solutions de ce système est le couple unique : $\mathcal{S} = \{(1\;; \; 2)\}$.
⚙️ 2. Méthode de Combinaison Linéaire (Élimination)
Cette méthode universelle est hautement recommandée lorsque les coefficients devant $x$ et $y$ sont différents de $1$. Elle consiste à multiplier les lignes par des nombres réels choisis pour obtenir des coefficients opposés devant une même inconnue, afin de l'éliminer par addition.
📝 Exemple d'application — Combinaison Linéaire :
Résolvons dans $\mathbb{R}^2$ le système général suivant :
$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - 2y = -1 \end{cases}$$
• Étape 1 (Éliminer $y$) : Multiplions tous les termes de la première ligne par $2$ et ceux de la seconde ligne par $3$ pour obtenir des coefficients opposés ($6$ et $-6$) devant $y$ :
$$\begin{cases} 4x + 6y = 16 \\ 9x - 6y = -3 \end{cases}$$
• Étape 2 (Additionner) : Additionnons membre à membre les deux équations obtenues :
$(4x + 9x) + (6y - 6y) = 16 + (-3) \implies 13x = 13 \implies x = \dfrac{13}{13} = 1$.
• Étape 3 (Calcul de $y$) : Injectons la valeur trouvée $x = 1$ dans la toute première équation d'origine :
$2(1) + 3y = 8 \implies 2 + 3y = 8 \implies 3y = 8 - 2 \implies 3y = 6 \implies y = \dfrac{6}{3} = 2$.
L'ensemble des solutions validé est le couple unique : $\mathcal{S} = \{(1\;; \; 2)\}$.
2. Exemple type Examen National
⚡ Exemple Technique : Élimination par Multiplication Négative :
Parfois, pour obtenir des coefficients opposés, il est impératif de multiplier l'une des équations par un nombre réel négatif. C'est un exercice de style redouté où le signe moins doit être distribué avec une rigueur chirurgicale.
Considérons le système suivant où nous choisissons d'éliminer l'inconnue $x$ :
• Étape 1 (Multiplication Négative) : Pour éliminer $2x$ de la ligne $\text{L}_2$, nous devons transformer le $x$ de la ligne $\text{L}_1$ en $-2x$. Multiplions donc tous les termes de la ligne $\text{L}_1$ par $-2$ :
🚨 Piège rituel : L'erreur classique des élèves consiste à oublier de multiplier le terme constant de droite. Il faut impérativement calculer $7 \times (-2) = -14$ pour préserver l'équilibre algébrique.
• Étape 2 (Addition et Élimination) : Additionnons les deux nouvelles équations membre à membre :
$$ (-2x + 2x) + (-6y + 5y) = -14 + 12 $$
↓ (Simplification) ↓
$$ -1y = -2 $$
↓ (Résolution) ↓
$$ y = 2 $$
• Étape 3 (Calcul de la variable $x$) : Réinjectons proprement la valeur $y = 2$ dans la ligne initiale $\text{L}_1$ (la plus simple) :
$$ x + 3(2) = 7 $$
↓ (Calcul du produit) ↓
$$ x + 6 = 7 $$
↓ (Transposition) ↓
$$ x = 7 - 6 \implies x = 1 $$
Le couple solution unique validé pour ce système est : $\mathcal{S} = \{(1\;; \; 2)\}$.
⚡ Exemple Avancé : Méthode des Multiplications Croisées :
Lorsque aucun coefficient d'une inconnue n'est le multiple de l'autre, la stratégie des majors consiste à effectuer des multiplications croisées. On croise les coefficients en multipliant chaque ligne par le coefficient de l'autre, en veillant à introduire un signe opposé pour provoquer l'élimination.
Résolvons le système suivant en éliminant l'inconnue $y$ par croisement :
• Étape 1 (Le Croisement des Coefficients) : Le coefficient de $y$ est $4$ dans la ligne $\text{L}_1$ et $3$ dans la ligne $\text{L}_2$. Pour obtenir des coefficients opposés ($12$ et $-12$), multiplions la ligne $\text{L}_1$ par $3$ et la ligne $\text{L}_2$ par $-4$ :
• Étape 2 (Addition membre à membre) : Ajoutons les deux équations obtenues pour faire disparaître les termes en $y$ :
$$ (9x - 8x) + (12y - 12y) = 33 - 32 $$
↓ (Simplification) ↓
$$ 1x = 1 $$
↓ (Résolution) ↓
$$ x = 1 $$
• Étape 3 (Calcul de la variable $y$) : Remplaçons la valeur trouvée $x = 1$ dans la ligne d'origine $\text{L}_2$ (le choix de la ligne est libre) :
$$ 2(1) + 3y = 8 $$
↓ (Calcul du produit) ↓
$$ 2 + 3y = 8 $$
↓ (Transposition) ↓
$$ 3y = 8 - 2 $$
↓ (Calcul final) ↓
$$ 3y = 6 \implies y = 2 $$
Le couple solution unique de ce système d'évaluation est : $\mathcal{S} = \{(1\;; \; 2)\}$.
III. Résolution Graphique (Géométrique
Passons de l'algèbre à la géométrie analytique ! La résolution graphique d'un système de deux équations consiste à interpréter chaque égalité linéaire comme l'équation d'une ligne droite dans un repère orthonormé $(O\;; \; \vec{i}\;; \; \vec{j})$. Dans cette configuration doctrinale, trouver la solution du système revient à déterminer de manière géométrique les coordonnées cartésiennes $(x\;; \; y)$ du point d'intersection unique de ces deux droites sécantes.
📋 Les 5 étapes doctrinales pour réussir le tracé :
Étape 1 : Associer les droites. Associer la droite $(D_1)$ à la première équation, et la droite $(D_2)$ à la seconde équation.
Étape 2 : Déterminer les équations réduites. Isoler $y$ dans les deux lignes pour obtenir la forme standard : $y = mx + p$ (où $m$ est la pente et $p$ l'ordonnée à l'origine).
Étape 3 : Trouver les points de contrôle. Construire un tableau de valeurs miniatures pour chaque droite en choisissant deux valeurs simples de $x$ (souvent $0$ et $1$) pour calculer les ordonnées $y$ correspondantes.
Étape 4 : Tracer dans le repère. Placer proprement les points obtenus dans un repère orthonormé et tracer les droites $(D_1)$ et $(D_2)$.
Étape 5 : Conclure par l'intersection. Repérer visuellement le point d'intersection $M(x\;; \; y)$. Ses coordonnées forment le couple solution unique $\mathcal{S}$.
📝 Exemple d'application pas à pas :
Soit à résoudre graphiquement le système validé : $\begin{cases} -x + y = 1 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$
• Transformation en équations réduites :
Droite $(D_1) : y = x + 1$
Droite $(D_2) : y = -2x + 4$
• Points de contrôle pour $(D_1)$ : si $x=0 \implies y=1$ donc $A(0\;; \; 1)$ ; si $x=2 \implies y=3$ donc $B(2\;; \; 3)$.
• Points de contrôle pour $(D_2)$ : si $x=0 \implies y=4$ donc $C(0\;; \; 4)$ ; si $x=2 \implies y=0$ donc $D(2\;; \; 0)$.
• Observation géométrique : Les deux droites se coupent exactement au point $M(1\;; \; 2)$. L'ensemble des solutions est donc : $\mathcal{S} = \{(1\;; \; 2)\}$.
📈 Représentation Graphique Dynamique AltiMath
💡 Remarque (L'œil du Prof) :La méthode graphique est d'une beauté géométrique absolue, mais elle exige une précision chirurgicale. Utilisez un crayon bien taillé et veillez à ce que vos axes soient parfaitement perpendiculaires. Une erreur de tracé d'un seul millimètre peut fausser la lecture du point d'intersection $M(1\;; \; 2)$ et vous faire perdre de précieux points à l'examen régional !
Exemple détaillé : Résolution Graphique
⚡ Exemple Détaillé 2 : Autre Résolution Graphique Pas à Pas
Résolvons graphiquement dans un repère orthonormé ce nouveau système d'évaluation :
$$\begin{cases} -2x + y = -1 \quad \color{#94a3b8}{\text{(D}_1\text{)}} \\ x + y = 5 \quad \color{#94a3b8}{\text{(D}_2\text{)}}\end{cases}$$
• Étape 1 : Passage aux équations réduites
Isolons proprement la variable $y$ dans chaque équation pour trouver l'expression de la droite ($y = mx + p$) :
Pour $(\text{D}_1) : -2x + y = -1 \implies \mathbf{y = 2x - 1}$
Pour $(\text{D}_2) : x + y = 5 \implies \mathbf{y = -x + 5}$
• Étape 2 : Construction des tableaux de valeurs miniatures
Trouvons deux points distincts de contrôle pour chaque droite en choisissant des valeurs simples pour $x$ :
Pour $(\text{D}_1) : y = 2x - 1$
$x$
$0$
$2$
$y$
$-1$
$3$
Point
$A(0\;; -1)$
$B(2\;; 3)$
Pour $(\text{D}_2) : y = -x + 5$
$x$
$1$
$3$
$y$
$4$
$2$
Point
$C(1\;; 4)$
$D(3\;; 2)$
• Étape 3 : Tracé et lecture des coordonnées de l'intersection
Après avoir tracé les droites $(\text{D}_1)$ et $(\text{D}_2)$ dans le repère, on constate visuellement qu'elles se coupent en un point unique unique $M(2\;; \; 3)$.
L'ensemble des solutions de ce système graphique est : $\mathcal{S} = \{(2\;; \; 3)\}$.
💡 Remarque (L'œil du Prof) :
La méthode graphique sur ce nouveau système illustre parfaitement l'importance des signes négatifs, notamment lors de l'ordonnée à l'origine de $(\text{D}_1)$ à $-1$. Prenez toujours soin de tracer vos repères avec des graduations régulières pour lire sans encombre le point exact $M(2\;; \; 3)$ !
IV. Modélisation et Résolution de Problèmes
La finalité absolue de l'apprentissage des systèmes de deux équations en 3ème Année Collège est la mathématisation de problèmes réels. Savoir traduire un énoncé textuel concret (économique, géométrique ou quotidien) en un modèle algébrique rigoureux est la compétence la plus valorisée au barème de l'examen régional.
📋 Les 5 étapes indispensables de la mathématisation :
Étape 1 : Le choix des inconnues. Identifier clairement les deux grandeurs recherchées et leur attribuer les variables $x$ et $y$ (en précisant leur nature).
Étape 2 : La mise en système (Modélisation). Traduire pas à pas les phrases de l'énoncé en deux équations mathématiques simultanées.
Étape 3 : La résolution du système. Utiliser l'une des méthodes analytiques (substitution ou combinaison linéaire) pour calculer le couple solution.
Étape 4 : La vérification des résultats. Tester le couple trouvé dans les équations d'origine pour s'assurer de la cohérence arithmétique.
Étape 5 : Le retour au problème (Conclusion). Rédiger une phrase réponse claire qui interprète les valeurs de $x$ et $y$ dans le contexte de l'énoncé.
🏋️ Applications Pratiques et Sujets de Régionaux
📝 Problème 1 : Achat de fournitures scolaires
Pour équiper ses enfants, un parent achète 3 cahiers et 2 stylos pour un montant total de 34 DH. Le lendemain, chez le même libraire, il achète 2 cahiers et 5 stylos pour un montant de 31 DH. Déterminer le prix d'un seul cahier et d'un seul stylo.
• Choix des inconnues :
Soit $x$ le prix d'un cahier (en DH) et $y$ le prix d'un stylo (en DH).
• Mise en système :
L'énoncé se traduit par le système linéaire classique : $\begin{cases} 3x + 2y = 34 \\ 2x + 5y = 31 \end{cases}$
• Résolution (Combinaison croisée) :
Multiplions la ligne 1 par $5$ et la ligne 2 par $-2$ pour éliminer $y$ :
$\begin{cases} 15x + 10y = 170 \\ -4x - 10y = -62 \end{cases}$
Additionnons membre à membre : $11x = 108 \implies x = \dfrac{108}{11} \implies \mathbf{x = 8\text{ DH}}$.
Remplaçons $x=8$ dans la première ligne : $3(8) + 2y = 34 \implies 24 + 2y = 34 \implies 2y = 10 \implies \mathbf{y = 5\text{ DH}}$.
• Vérification : $3(8)+2(5)=24+10=34$ (Vrai) et $2(8)+5(5)=16+25=31$ (Vrai).
• Conclusion du problème : Le prix d'un cahier est de 8 DH et celui d'un stylo est de 5 DH. Ensemble $\mathcal{S} = \{(8\;; \; 5)\}$.
📝 Problème 2 : Le paradoxe des têtes et des pattes (Classique Examen)
Dans une ferme, il y a un ensemble de poules (2 pattes) et de lapins (4 pattes). Un agriculteur compte au total 20 têtes et 56 pattes. Déterminer de manière exacte le nombre de poules et le nombre de lapins présents dans cette ferme.
• Choix des inconnues :
Soit $x$ le nombre de poules et $y$ le nombre de lapins (avec $x, y \in \mathbb{N}$).
• Mise en système :
- Équation des têtes (chaque animal a 1 tête) : $x + y = 20$
- Équation des pattes (la poule a 2 pattes, le lapin 4) : $2x + 4y = 56$
Le système à résoudre est donc : $\begin{cases} x + y = 20 \\ 2x + 4y = 56 \end{cases}$
• Résolution (Par Substitution) :
De la première ligne, isolons $x$ : $x = 20 - y$.
Substituons dans la seconde ligne : $2(20 - y) + 4y = 56 \implies 40 - 2y + 4y = 56$.
Réduction verticale : $40 + 2y = 56 \implies 2y = 56 - 40 \implies 2y = 16 \implies \mathbf{y = 8\text{ lapins}}$.
Calcul final de $x$ : $x = 20 - 8 \implies \mathbf{x = 12\text{ poules}}$.
• Vérification : $12+8=20$ têtes (Vrai) et $2(12)+4(8)=24+32=56$ pattes (Vrai).
• Conclusion du problème : La ferme abrite exactement 12 poules et 8 lapins. Ensemble $\mathcal{S} = \{(12\;; \; 8)\}$.
💡 Remarque (L'œil du Prof) :
Au cours de l'examen régional, l'étape la plus critique n'est pas le calcul algébrique, mais le choix des inconnues et la vérification. Assurez-vous toujours que les valeurs trouvées concordent avec les réalités de l'énoncé (par exemple, un nombre d'animaux ou un prix ne peut jamais être négatif ou fractionnaire). Prenez le temps de valider votre couple pour blinder votre note !
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Conclusion & Synthèse du Cours
Bilan méthodologique des systèmes et check-list pour l'examen régional.
📝 En Résumé :
En conclusion, la maîtrise du chapitre des systèmes de deux équations 3AC impose une parfaite synergie entre l'algèbre analytique (les rituels de substitution et de combinaison) et l'analyse géométrique (l'interprétation des droites sécantes). Ce module constitue un jalon d'évaluation incontournable de l'examen régional. Réussir ce défi ne relève pas du hasard, mais d'une rigueur méthodique absolue lors de la mise en système et de la traque des erreurs de signes.
❌ Les Erreurs Fréquentes à Éviter Absolument
❌ Piège n°1 : La distribution partielle lors de la combinaison linéaire
L'erreur classique commise par les élèves à l'examen régional consiste à multiplier uniquement les termes contenant les inconnues $x$ et $y$ à gauche, tout en oubliant de multiplier le terme constant situé à droite du signe égal ($=$). Exemple : Multiplier $x+2y=5$ par $3$ et écrire $3x+6y=5$ au lieu de $15$.
💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :
"Pour esquiver ce piège fatal, tracez systématiquement des parenthèses de sécurité autour de toute l'équation sur votre brouillon avant d'effectuer la multiplication : $3 \times (x + 2y) = 3 \times (5)$. Distribuez le nombre sur chaque bloc sans exception pour préserver l'équilibre algébrique."
❌ Piège n°2 : L'oubli du changement de signe lors de la substitution
Isoler une inconnue (comme $x$) et oublier de changer le signe des autres termes en les transposant de l'autre côté de l'égalité. Exemple : Écrire que $x+2y=5$ devient $x=5+2y$ au lieu de $x=5-2y$. Une seule erreur d'inattention ici fausse l'intégralité du système.
💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :
"Récitez mentalement la règle doctrinale absolue du collège : « Tout terme qui change de côté change obligatoirement de signe ! ». Prenez une seconde pour vérifier vos signes de transposition avant de réinjecter l'expression dans la seconde équation."
❌ Piège n°3 : L'oubli des parenthèses distributives au moment du remplacement
Lors de l'injection de la variable isolée dans la seconde ligne, oublier de mettre l'expression entre parenthèses devant un coefficient multiplicateur. Exemple : Écrire $3 \times 5-2y - y = 1$ au lieu de $3 \times (5-2y) - y = 1$. Le coefficient $3$ ne multiplie alors que le premier chiffre.
💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :
"Considérez toute expression isolée comme un bloc indivisible. Dès que vous remplacez $x$ par $(5-2y)$, enfermez-la immédiatement dans des parenthèses protectrices. C'est le seul moyen d'assurer un développement juste et complet de vos équations."
💡 Remarque (L'œil du Prof) :
Mon conseil d'or pour blinder votre note à l'examen régional est le suivant : Ne rendez jamais votre copie sans effectuer une vérification flash ! Une fois le couple $(x\;; \; y)$ trouvé, remplacez mentalement ou au brouillon ces valeurs dans les deux équations initiales du problème. Si les égalités sont vérifiées simultanément, vous êtes assuré à 100% de décrocher l'intégralité des points du barème. C'est le secret absolu des majors pour dompter le stress du jour a jour !
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"Les mathématiques sont une compréhension, pas seulement des chiffres."
