Ce cours complet sur les Nombres Complexes (Partie 1) est conçu pour les élèves de 2BAC PC, SVT et SM. Vous y découvrirez les fondements de l'algèbre complexe : de la forme algébrique a+bi à l'élément imaginaire $i^2 = -1$, en passant par le calcul du conjugué, du module et de l'argument. Maîtrisez également la forme trigonométrique et exponentielle ainsi que la résolution des équations du second degré dans $\mathbb{C}$ grâce à nos explications détaillées et nos exercices corrigés sur AltiMath.
Depuis le collège, nous avons travaillé dans l'ensemble des nombre réels où le carré d'un nombre est toujours positif. Mais face à l'impossibilité de résoudre des équations comme $x^2 + 1 = 0$, les mathématiciens ont imaginé un nouvel ensemble : L'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.
I. Introduction : L'Extension du Champ Numérique
L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels ne permet pas de résoudre des équations simples comme $x^2 + 1 = 0$. Pour lever cette barrière, on introduit l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, basé sur l'unité imaginaire $i$ telle que $i^2 = -1$. Ce chapitre s'appuie sur vos acquis en Trigonométrie et prépare le terrain pour la Géométrie Plane.
🎯 Importance et Orientations Pédagogiques
Conformément aux orientations pédagogiques du 2BAC (PC/SVT/SM), ce cours vise à doter l'élève d'un outil puissant pour :
- ✅ Algèbre : Résoudre des équations du second degré à discriminant négatif ($\Delta < 0$).
- ✅ Géométrie : Utiliser les affixes pour caractériser des transformations (Translation, Homothétie, Rotation).
- ✅ Trigonométrie : Linéariser des expressions grâce aux formules d'Euler et de Moivre.
🚀 Prolongements du cours :
Ce chapitre n'est pas isolé ; il possède des prolongements vitaux en Physique (Étude des circuits RLC en courant alternatif) et en Études Supérieures (Analyse complexe, Traitement du signal).
"Dites à vos élèves : Bienvenue dans un monde où $i^2 = -1$. Ce n'est pas une erreur، c'est une révolution qui simplifie la géométrie plane en la transformant en simples calculs algébriques !"
II. Définition et Représentation Géométrique
🔵 1. Forme Algébrique
Tout nombre complexe $z$ s'écrit de façon unique sous la forme algébrique :
- $a = \text{Re}(z)$ : Partie réelle .
- $b = \text{Im}(z)$ : Partie imaginaire .
- $i$ : L'élément imaginaire tel que $i^2 = -1$.
🟠 2. Représentation dans le Plan Complexe
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. À tout nombre $z = a+bi$, on associe :
- Le point $M(a, b)$ appelé image de $z$.
- Le vecteur $\vec{w}(a, b)$ appelé image vectorielle de $z$.
- Le nombre $z$ est appelé affixe du point $M$ أو du vecteur $\vec{w}$.
📊 Représentation dans le Plan Complexe
Attention ! Dans le plan complexe، l'axe des abscisses est l'axe Réel et l'axe des ordonnées est l'axe Imaginaire. Retenez bien le mot Affixe، c'est le terme technique que vous trouverez dans 100% des examens nationaux !
III. Forme Algébrique et Égalité
D'apré le définition de la Forme Algébrique d'un nombre complexe $z$ que s'écrit de manière unique sous la forme :
Avec $a$ et $b$ des réels. Cette écriture est appelée forme algébrique de $z$.
🟢 2. Égalité de deux complexes
Soient $z = a+bi$ et $z' = a'+b'i$ deux nombres complexes.
📌 Cas particulier : $z = 0 \iff \text{Re}(z) = 0$ et $\text{Im}(z) = 0$.
Mes élèves, la forme algébrique est la base de tout ! Si on vous demande de déterminer $x$ et $y$, pensez immédiatement à l'égalité. C'est le secret pour transformer une équation complexe en un système de deux équations réelles simples.
IV. Conjugué d'un Nombre Complexe
1. Définition et Notation
Soit $z = a + ib$ un nombre complexe (où $a$ et $b$ sont des réels). On appelle conjugué de $z$, le nombre complexe noté $\bar{z}$ défini par :
📈 Interprétation Géométrique : Symétrie Axiale
Les points $M(z)$ et $M'(\bar{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
2. Propriétés de Calcul
• $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z}'$
• $\overline{(\frac{z}{z'})} = \frac{\bar{z}}{\bar{z}'} \quad (z' $ ≠ $ 0)$
• $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$
• $z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}$
VI. Les Opérations sur les Nombres Complexes
Les opérations dans $\mathbb{C}$ (addition, multiplication) suivent les mêmes règles que dans $\mathbb{R}$, en tenant compte de la propriété fondamentale : $i^2 = -1$.
🟢 1. Addition et Multiplication
Soient $z = a+bi$ et $z' = a'+b'i$. Les calculs suivent les règles classiques :
- ✅ Somme : $z + z' = (a+a') + i(b+b')$
🟢 2. Multiplication
Soient $z = a+bi$ et $z' = a'+b'i$. Les calculs suivent les règles classiques :
- ✅ Produit : $z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$ (en utilisant $i^2 = -1$)
🟠 3. Le Conjugué
Le conjugué de $z = a+bi$ est le nombre $\bar{z} = a-bi$.
- ✅ Propriété clé : $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$
(C'est un nombre réel toujours positif !)
🔵 4. Conjugué et Quotient
Le conjugué de $z=a+bi$ est $\bar{z}=a-bi$. Il est indispensable pour calculer un quotient :
- ✅ $\frac{z}{z'} = \frac{z \times \bar{z'}}{z' \times \bar{z'}} = \frac{z \times \bar{z'}}{a'^2 + b'^2}$
Mes chers élèves, ne développez jamais $z \bar{z}$ étape par étape. Retenez directement la formule magique : $z \bar{z} = a^2 + b^2$. C'est un gain de temps précieux lors du calcul du quotient ou du module !
V. Opposé et Inverse d'un Nombre Complexe
🔘 1. L'Opposé d'un complexe
L'opposé de $z = a + bi$ est le nombre noté $-z$ :
(Géométriquement, $M'(-z)$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'origine $O$).
🟣 2. L'Inverse d'un complexe ($z $ ≠ $ 0$)
Pour calculer l'inverse $\frac{1}{z}$, on multiplie par le conjugué $\bar{z}$ :
Attention à la confusion ! L'opposé change tous les signes ($-a-bi$), alors que le conjugué ne change que le signe de la partie imaginaire ($a-bi$). Pour l'inverse، rappelez-vous que le but est de rendre le dénominateur réel !
VII. Représentation Géométrique : L'Affixe
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. Chaque nombre complexe $z = a+bi$ correspond à une entité géométrique unique.
🔵 1. Affixe d'un Point et d'un Vecteur
- 📍 Affixe du point : On note $z_M = a + bi$ l'affixe du point $M(a, b)$. $M$ est l'image de $z$.
- ➡️ Affixe du vecteur : Si $\vec{w}$ a pour coordonnées $(a, b)$, son affixe est $z_{\vec{w}} = a + bi$.
- 📏 Vecteur AB : L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est donnée par : $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$.
📉 Visualisation dans le Plan Complexe
2. Propriétés Fondamentales
• Affixe du milieu $I$ de $[AB]$ : $\mathbf{z_I = \frac{z_A + z_B}{2}}$
• Affixe de la somme $\vec{u} + \vec{v}$ : $\mathbf{z_{\vec{u} + \vec{v}} = z_{\vec{u}} + z_{\vec{v}}}$
🟢 3. Affixe du Milieu
L'affixe du point $I$, milieu du segment $[AB]$, est :
Retenez cette analogie : $z$ est le nom (l'identité numérique) et $M$ est le corps (la position). Dans vos calculs، traitez les affixes comme des coordonnées normales، mais avec l'élégance de l'algèbre !
VIII. Résolution d'équations du second degré dans $\mathbb{C}$
🔗 Rappel Important : Les Bases du Discriminant
Pour maîtriser la résolution dans $\mathbb{C}$, il est indispensable de bien comprendre le calcul du discriminant $\Delta$.
👉 Nous vous conseillons de relire notre Cours Complet sur les Équations du Second Degré pour réviser les cas où $\Delta > 0$ et $\Delta = 0$ avant de s'attaquer aux racines complexes.
🔗 Résolution d'équations dans $\mathbb{C}$
Dans l'ensemble $\mathbb{C}$, toute équation du second degré $az^2 + bz + c = 0$ (avec $a \in \mathbb{R}^*$) admet toujours des solutions.
🛑 Cas où $\Delta < 0$
Si le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est strictement négatif, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
📝 Exemple d'application :
Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 2z + 5 = 0$
- $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = \mathbf{-16}$.
- Puisque $\Delta < 0$, les racines sont :
- $z_1 = \frac{2 - i\sqrt{16}}{2} = \frac{2-4i}{2} = \mathbf{1 - 2i}$
- $z_2 = \bar{z_1} = \mathbf{1 + 2i}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :
🔍 Cliquer ici pour vérifier votre démarche et le résultat
1. Calcul du discriminant $\Delta$ :
$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = \mathbf{-36}$.
Puisque $\Delta < 0$, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
2. Calcul des racines $z_1$ et $z_2$ :
• $z_1 = \frac{4 - i\sqrt{36}}{2} = \frac{4-6i}{2} = \mathbf{2 - 3i}$
• $z_2 = \bar{z_1} = \mathbf{2 + 3i}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 + 9 = 0$
👁️ Voir la solution
Les solutions sont : $\mathbf{z_1 = 3i}$ et $\mathbf{z_2 = -3i}$.
$S = \{3i ; -3i\}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 6z + 10 = 0$
🔍 Voir la solution détaillée
$z_1 = \frac{6 - i\sqrt{4}}{2} = \frac{6-2i}{2} = \mathbf{3 - i}$
$z_2 = \bar{z_1} = \mathbf{3 + i}$
$S = \{3 - i \ ; \ 3 + i\}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^4 + 3z^2 - 4 = 0$
🚀 Voir le raisonnement
$\Delta = 3^2 - 4(1)(-4) = 25$.
$Z_1 = \frac{-3-5}{2} = -4$ et $Z_2 = \frac{-3+5}{2} = 1$.
• $z^2 = -4 \implies \mathbf{z \in \{2i, -2i\}}$
• $z^2 = 1 \implies \mathbf{z \in \{1, -1\}}$
$S = \{1 ; -1 ; 2i ; -2i\}$
Attention ! Une erreur fréquente au National est d'oublier le 'i' devant la racine ou de laisser le signe moins sous la racine. Rappelez-vous : $\sqrt{-\Delta}$ devient $\sqrt{16}$ (positif) car le 'i' a déjà absorbé le signe moins !
IX. Module et Argument d'un Nombre Complexe
📏 1. Module d'un Nombre Complexe
📌 Propriété : $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$
🧭 2. Argument d'un Nombre Complexe (non nul)
L'argument de $z$ (pour $z \neq 0$) est la mesure de l'angle $(\vec{u}, \vec{OM})$، noté $\text{arg}(z)$ :
Où $\theta \equiv \text{arg}(z) \ [2\pi]$.
🔍 Diagnostic Visuel : Le Triangle de Passage
C'est l'hypoténuse du triangle rectangle. Il mesure la distance entre l'origine et le point M.
Formule : $\sqrt{a^2 + b^2}$.
C'est l'angle d'inclinaison. Il fait le lien entre les coordonnées et la trigonométrie.
Relation : $\cos(\theta) = a/|z|$ et $\sin(\theta) = b/|z|$.
X. Forme Trigonométrique d'un nombre complexe
1. Définition et Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires
Tout nombre complexe non nul $z = a + ib$ peut s'écrire sous sa forme trigonométrique en utilisant son module $r = |z|$ et son argument $\theta \equiv \text{arg}(z) [2\pi]$ :
Notation simplifiée : $z = [r, \theta]$
🔍 Pourquoi $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ?
💡 Comment lire ce graphique ?
• Le Module $r$ : C'est la longueur de la flèche orange. Elle définit le cercle sur lequel se trouve le point $M$.
• L'Argument $\theta$ : C'est l'inclinaison. Elle détermine la position exacte sur ce cercle.
• Les Projections : En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle formé, on voit que la base est $r \cos \theta$ (Partie réelle) et la hauteur est $r \sin \theta$ (Partie imaginaire).
• D'où la forme : $z = r\cos\theta + i(r\sin\theta) = \mathbf{r(\cos\theta + i\sin\theta)}$.
📝 Comment passer à la forme trigonométrique ?
- Calculer le module : $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
- Factoriser par $r$ : $z = r \left( \frac{a}{r} + i\frac{b}{r} \right)$.
- Identifier l'angle $\theta$ : Résoudre $\cos \theta = \frac{a}{r}$ et $\sin \theta = \frac{b}{r}$.
2. Forme Trigonométrique d'un nombre complexe
Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, il est indispensable de connaître par cœur les valeurs suivantes :
| Angle $\theta$ (Rad) | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos(\theta)$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\sin(\theta)$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
💡 Astuces pour les Signes (Quadrants)
- ✅ $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ et $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$
- ✅ $\cos(\pi-\theta) = -\cos(\theta)$ et $\sin(\pi-\theta) = \sin(\theta)$
- ✅ $\cos(\pi+\theta) = -\cos(\theta)$ et $\sin(\pi+\theta) = -\sin(\theta)$
XI. Forme Exponentielle et Formules Célèbres
1. Définition et Forme Exponentielle
Par convention, on pose $\mathbf{e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta}$. Tout nombre complexe $z$ de module $r$ et d'argument $\theta$ s'écrit sous sa forme exponentielle :
2. Puissance d'un complexe : Formule de Moivre
Pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$, la puissance $n$-ième d'un nombre complexe est simplifiée par :
Notation exponentielle : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$
📊 Comparaison des Écritures
3. Formules de Moivre et d'Euler
Pour tout entier relatif $n \in \mathbb{Z}$ et pour tout réel $\theta$, on a :
- 🚀 Formule de Moivre : $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$
- 🧬 Formules d'Euler :
$\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$
📉 Visualisation : La symétrie d'Euler
XII. Propriétés du Module et de l'Argument
Ces propriétés sont fondamentales pour simplifier les calculs de produits, de quotients et de puissances.
| Opération | Propriétés du Module | Propriétés de l'Argument |
|---|---|---|
| Produit $z \cdot z'$ | $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ | $\text{arg}(z \cdot z') \equiv \text{arg}(z) + \text{arg}(z') [2\pi]$ |
| Quotient $\frac{z}{z'}$ | $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$ | $\text{arg}(\frac{z}{z'}) \equiv \text{arg}(z) - \text{arg}(z') [2\pi]$ |
| Puissance $z^n$ | $|z^n| = |z|^n$ | $\text{arg}(z^n) \equiv n \cdot \text{arg}(z) [2\pi]$ |
Remarquez l'analogie : le module se comporte comme une multiplication classique, alors que l'argument se comporte comme un Logarithme ($\ln$). C'est cette propriété qui rend la forme exponentielle si puissante !
📝 Exercices d'Application (Forme Algébrique)
📝 Exercice 1 : Équations et Formes d'un Complexe
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$.
2. On pose $z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.
a) Écrire $z_1$ sous forme trigonométrique.
b) En déduire la forme algébrique de $z_1^{2026}$.
👁️🗨️ Voir la solution détaillée
$\Delta = (-\sqrt{3})^2 - 4(1)(1) = 3 - 4 = \mathbf{-1}$.
$z_1 = \frac{\sqrt{3}-i}{2}$ et $z_2 = \frac{\sqrt{3}+i}{2}$.
2. a) Forme trigo :
$|z_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = 1$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{6} [2\pi]$.
$\mathbf{z_1 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = [1, \frac{\pi}{6}]}$.
2. b) Puissance :
$z_1^{2026} = [1, 2026 \times \frac{\pi}{6}] = [1, \frac{1013\pi}{3}]$.
Après réduction : $z_1^{2026} = [1, \frac{-\pi}{3}] = \cos(\frac{-\pi}{3}) + i\sin(\frac{-\pi}{3}) = \mathbf{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i}$.
📝 Exercice 2 Problème Type : Session Normale (Bac 2026)
1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $\mathbf{z^2 - 6z + 13 = 0}$.
2. Dans le plan complexe $(O, \vec{e_1}, \vec{e_2})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
Q1 : Résolution de l'équation (Δ)
Puisque $\Delta < 0$, l'équation admet deux racines complexes conjuguées :
$z_1 = \frac{6 + i\sqrt{16}}{2} = \mathbf{3 + 2i}$ $\quad ; \quad$ $z_2 = \mathbf{3 - 2i}$.
$\mathbf{S = \{3+2i ; 3-2i\}}$.
Q2 : Nature du triangle ABC
Module : $|1-i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
Argument : $\text{arg}(1-i) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi]$.
Q3 : La Transformation (Rotation)
$z' - a = e^{i\frac{\pi}{2}}(z - a) \implies z' - (3+2i) = i(z - 3 - 2i)$.
Pour $z = c$, on trouve l'image $C'$ d'affixe $z' = \mathbf{7 - 2i}$.
🔥 Défi Expert : Calcul de Puissances Élevées
Objectif : Maîtriser Moivre et Euler (Bac 2026)
On considère le nombre complexe : $\mathbf{z = 1 + i\sqrt{3}}$.
1. Écrire $z$ sous sa forme exponentielle.
2. En déduire la valeur du nombre réel $z^{2026}$ sous forme algébrique.
3. Montrer que $\mathbf{\left(\frac{z}{2}\right)^n}$ est un nombre réel si et seulement si $n$ est un multiple de $3$.
🔍 Solution Q1 : Forme Exponentielle
• Argument : $\cos \theta = \frac{1}{2}$ et $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]$.
• Conclusion : $\mathbf{z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}}$.
🔍 Solution Q2 : Calcul de $z^{2026}$
$z^{2026} = (2e^{i\frac{\pi}{3}})^{2026} = 2^{2026} \cdot e^{i\frac{2026\pi}{3}}$.
On simplifie l'angle : $\frac{2026\pi}{3} = \frac{(2025+1)\pi}{3} = 675\pi + \frac{\pi}{3} \equiv \pi + \frac{\pi}{3} \equiv \mathbf{\frac{4\pi}{3}} [2\pi]$.
$z^{2026} = 2^{2026} (\cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3}) = 2^{2026} (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \mathbf{-2^{2025} - i 2^{2025}\sqrt{3}}$.
✅ Bilan de la Partie 1 : L'Essentiel à Retenir
Nous venons de poser les fondations de l'algèbre dans $\mathbb{C}$. La maîtrise de la forme algébrique, trigonométrique et exponentielle est le ticket d'entrée pour réussir les exercices de géométrie qui nous attendent.
🔑 Les 3 Clés du Succès :
- 🔥 $i^2 = -1$ : C'est le moteur de tous vos calculs.
- 🛠️ Le Conjugué : L'outil indispensable pour diviser deux complexes.
- 📐 Moivre & Euler : Vos raccourcis pour les puissances et la linéarisation.
Prêt pour la suite ?
🚀 Partie 2 : Transformations Géométriques et Affixes
