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Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat): Sujet et Corrigé Détaillé

Pour aider les élèves de la 3ème Année Collège (3AC) à réussir leur épreuve régionale, nous proposons la correction complète et rigoureuse de l'Examen Régional de Mathématiques de la session Juin 2025. Cet examen constitue un modèle d'évaluation standardisé indispensable pour cibler les compétences mathématiques clés requises à la fin du cycle collégial.

Structure de l'Épreuve selon le Cadre Référentiel

Conformément aux orientations pédagogiques ministérielles, l'évaluation de cet examen régional s'articule autour de trois grands domaines de compétences fondamentaux répartis de la manière suivante :

📊 Algèbre & Fonctions

Résolution algébrique et graphique des équations et inéquations du premier degré, modélisation par systèmes, et exploitation des fonctions linéaires et affines.

📐 Géométrie

Repérage dans le plan (coordonnées d'un vecteur et distance entre deux points), transformation par translation, et propriétés de la géométrie dans l'espace.

📈 Organisation des Données

Traitement statistique des données, détermination du mode, calcul de la moyenne arithmétique d'une série statistique, et interprétation des caractéristiques de position.

3AC

Plan du Corrigé :

Solutions Officielles et Rituels de Correction (Session Juin 2025)

1

Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes

Résolution algébrique d'équations du premier degré, résolution des inéquations et modélisation de problèmes concrets.

2

Exercice 2 : Repère dans le Plan et équations de droites

Calcul des coordonnées des vecteurs, milieux de segments, distances dans un repère orthonormé et équations de droites.

3

Exercice 3 : Statistiques

Tableau des effectifs cumulés, détermination du mode, calcul de la moyenne arithmétique et fréquences.

4

Exercice 4 : Fonctions Linéaires et Affines

Détermination algébrique des coefficients, calcul d'images et d'antécédents, et représentations graphiques.

5

Exercice 5 : Géométrie dans l'Espace

Calculs de volumes (pyramide, cône), sections planes, et application des coefficients d'agrandissement et de réduction.

6

Exercice 6 : Vecteurs et Translation

Simplification d'égalités vectorielles (Chasles), construction d'images par translation et propriétés géométriques associées.

🚀 Rappels utiles : Signaler une erreur | Vecteurs et Translation 3AC

Cliquez sur un exercice pour accéder directement à sa correction détaillée

Correction Officielle

Examen Régional Commun 2025

Mathématiques — Troisième Année Collège (3AC) — Casablanca-Settat

Niveau

3AC BIOF

Session

Juin 2025

Coefficient

3

📐 Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes (5 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

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Analyse Mathématique & Synthèse

Propriétés clés, pièges classiques et conseils d'expert pour le jour J.

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

Règle de Transposition : Lorsqu'on déplace un terme d'un membre à l'autre d'une équation ou inéquation, son signe change obligatoirement (ex: $+3x$ devient $-3x$).
Produit Nul : L'égalité $A \times B = 0$ équivaut mathématiquement à poser séparément $A = 0$ ou $B = 0$. Il ne faut jamais développer un produit nul !
Modélisation par Système : Traduire un problème concret exige de suivre scrupuleusement 4 étapes : le choix des inconnues, la mise en système, la résolution algébrique et le retour au problème (vérification).

📝 Énoncé du Sujet :

1) Résoudre l'équation suivante : 9x - 4 = 3x - 2 (0,5 pt)

2) a) Vérifier que : x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) (0,5 pt)

b) Résoudre l'équation : x² - 3x + 2 = 0 (0,75 pt)

3) Résoudre l'inéquation suivante : 6x + 1 > 4x - 3 (0,75 pt)

4) Résoudre le système suivant : $\begin{cases} x + y = 40 \\ 2x + 5y = 155 \end{cases}$ (1,5 pts)

5) Amina possède 40 billets composés de billets de 20DH et de billets de 50DH. Sachant qu'elle a un montant total de 1550DH, quel est le nombre de billets de 20DH et le nombre de billets de 50DH que Amina possède ? (1 pt)

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

1) Résolution de l'équation 9x - 4 = 3x - 2 :
On rassemble les termes inconnus à gauche et les termes connus à droite :
On a : $9x - 3x = -2 + 4$
Alors : $6x = 2$
Alors : $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Donc : La solution de cette équation est le nombre $\frac{1}{3}$.

2) a) Vérification de l'égalité :
Développons le membre de droite :
$(x - 1)(x - 2) = x \times x - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

D'où l'égalité demandée est bien vérifiée : $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

2) b) Résolution de l'équation $x^2 - 3x + 2 = 0$ :
En utilisant la factorisation précédente, l'équation équivaut à :
On a :$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$
Alors : $(x - 1)(x - 2) = 0$
Alors : $x - 1 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 2 = 0$
Alors : $x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 2$

Donc: Les solutions de cette équation sont les nombres $1$ et $2$.

3) Résolution de l'inéquation 6x + 1 > 4x - 3 :
On a : $6x - 4x > -3 - 1$
Alors : $2x > -4$
Alors : $x > \frac{-4}{2}$
Alors : $x > -2$

Donc: Les solutions sont tous les nombres réels strictement supérieurs à $-2$.

4) Résolution du système :
De la première équation on tire : $x = 40 - y$. Substituons $x$ dans la deuxième équation :
$2(40 - y) + 5y = 155$
$80 - 2y + 5y = 155$
$3y = 155 - 80 \implies 3y = 75 \implies y = \frac{75}{3} = 25$
On remplace $y$ pour trouver $x$ : $x = 40 - 25 = 15$.

Le couple solution unique de ce système est $(15, 25)$.

5) Résolution du problème (Modélisation) :
• Choix des inconnues : Soit $x$ le nombre de billets de 20DH et $y$ le nombre de billets de 50DH.
• Mise en système : Amina possède 40 billets au total $\implies x + y = 40$.
Le montant total est de 1550DH $\implies 20x + 50y = 1550$.
En divisant tous les termes de la deuxième équation par 10, on obtient le système simplifié :
$\begin{cases} x + y = 40 \\ 2x + 5y = 155 \end{cases}$
• Résolution et retour au problème : D'après la question 4, la solution de ce système est le couple $(15, 25)$.

Amina possède donc 15 billets de 20DH et 25 billets de 50DH.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

Le piège du signe de l'Inéquation : Oublier d'inverser le sens de l'inégalité (ex: $>$ devient $<$) lorsqu'on divise ou multiplie par un nombre strictement négatif.
La confusion des couples $(x;y)$ : Dans la conclusion d'un système, inverser l'ordre des solutions. Rappelez-vous que $x$ est toujours écrit en premier, suivi de $y$.
Omission de la phrase de conclusion : Perdre bêtement des fractions de points ($0,25\text{ pt}$) à cause de l'absence de la phrase rituelle : "La solution de cette équation est...".

🎯 Conseils d'Expert

Utilisez les questions précédentes : La question du problème (Q5) est presque toujours liée au système résolu juste avant (Q4). Ne perdez pas de temps à tout recalculer.
La vérification rapide : Prenez 15 secondes au brouillon pour remplacer votre valeur trouvée dans l'équation initiale pour vous assurer que votre calcul est 100% correct.
Gestion du temps : Cet exercice vaut 5 points précieux et doit être traité de manière fluide en 20 minutes maximum pour préserver votre temps pour la géométrie.

📐 Exercice 2 : Repère dans le Plan et équations de droites (4 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

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Analyse Mathématique & Synthèse

Propriétés fondamentales, pièges classiques et astuces pour le repère et les droites.

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

Coordonnées du milieu : Pour le milieu $M$ de $[BC]$, on additionne les coordonnées et on divise par 2 : $x_M = \frac{x_B + x_C}{2}$ et $y_M = \frac{y_B + y_C}{2}$. C'est une moyenne arithmétique.
Pente d'une droite : Le coefficient directeur $m$ de $(AB)$ se calcule par le taux de variation : $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (avec $x_A \neq x_B$).
Condition d'alignement : Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, c'est-à-dire que ses coordonnées vérifient son équation réduite.
Perpendicularité : Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$ ($m \times m' = -1$).

📝 Énoncé du Sujet :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O; I; J)$.
On considère les points $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$ et $C(5; 4)$.

1) Placer dans le repère $(O; I; J)$ les points $A$, $B$ et $C$.

2) Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[BC]$.

3) Déterminer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

4) a) Montrer que l'équation réduite de la droite $(AB)$ est : $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

b) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

5) Soit $(D)$ la droite d'équation : $y = -2x + 4$.

a) Montrer que les deux droites $(D)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.

b) Tracer la droite $(D)$ dans le repère $(O; I; J)$.

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

1) Représentation des points :
Les points $A(-1; 1)$, $B(1; 2)$ et $C(5; 4)$ sont placés dans le repère $(O;I;J)$ (Voir la figure finale).

2) Coordonnées de $M$ milieu de $[BC]$ :
On utilise la formule des coordonnées du milieu :
$x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Les coordonnées du point $M$ sont : $M(3; 3)$.

3) Coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ :
La formule est : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A; y_B - y_A)$
$\overrightarrow{AB}(1 - (-1); 2 - 1) \implies \overrightarrow{AB}(1 + 1; 1)$

Les coordonnées du vecteur sont : $\overrightarrow{AB}(2; 1)$.

4) a) Équation réduite de la droite $(AB)$ :
L'équation s'écrit sous la forme : $(AB) : y = mx + p$.
• Calculons la pente $m$ :
$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$ $\implies (AB) : y = \frac{1}{2}x + p$.
• Calculons l'ordonnée à l'origine $p$ en utilisant le point $B(1;2) \in (AB)$ :
$y_B = \frac{1}{2}x_B + p \implies 2 = \frac{1}{2}(1) + p \implies p = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

L'équation réduite de $(AB)$ est bien : $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

4) b) Montrons que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés :
Il suffit de vérifier si les coordonnées de $C(5; 4)$ vérifient l'équation de la droite $(AB)$ :
$\frac{1}{2}x_C + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}(5) + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Puisque ce résultat est égal à $y_C = 4$, alors $C \in (AB)$.

Conclusion : Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

5) a) Perpendicularité des droites $(D)$ et $(AB)$ :
La pente de $(AB)$ est $m_1 = \frac{1}{2}$ et la pente de $(D)$ est $m_2 = -2$.
Calculons le produit de leurs pentes :
$m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$.

Le produit des pentes est égal à $-1$, donc $(D)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.

5) b) Construction de la droite $(D)$ :
Pour tracer $(D) : y = -2x + 4$, on cherche deux points en complétant le tableau de valeurs :
- Si $x = 0$, alors $y = 4 \implies P_1(0; 4)$
- Si $x = 2$, alors $y = -2(2) + 4 = 0 \implies P_2(2; 0)$
Il suffit de tracer la droite passant par $P_1$ et $P_2$ dans le repère contenant déjà les points $A, B, C$.

Figure Géométrique Officielle (3AC)

Représentation géométrique officielle du repère $(O;I;J)$ évaluant l'alignement des points $A, B, C$ et la perpendicularité de la droite $(D)$.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

Inversion dans la formule du vecteur : Écrire $\overrightarrow{AB}(x_A - x_B; y_A - y_B)$ au lieu de commencer par l'extrémité $B$. La règle est toujours : Extrémité moins Origine.
Inversion des Abscisses et Ordonnées : Confondre l'ordre lors du calcul de la pente en mettant les $x$ au numérateur et les $y$ au dénominateur ($\frac{x_B - x_A}{y_B - y_A}$ est faux).
Erreurs de signes avec les négatifs : Se tromper dans les calculs du type $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$. Les parenthèses protègent vos points !
Oubli de la condition de parallélisme : Confondre perpendicularité ($m \times m' = -1$) et parallélisme ($m = m'$).

🎯 Conseils d'Expert

Vérification par le dessin : Utilisez le repère orthonormé tracé à la question 1 pour vérifier visuellement si vos résultats calculés (milieu, alignement, perpendicularité) sont cohérents avec la figure.
Le point d'intersection facile : Pour tracer la droite d'équation $y = -2x + 4$, choisissez toujours des valeurs simples pour $x$ (comme $0$ et $2$) pour obtenir des coordonnées entières faciles à placer.
Rédigez proprement : Énoncez clairement la propriété ou la formule utilisée avant de vous lancer dans l'application numérique. Les correcteurs adorent la clarté.

Exercice 3 : Statistiques (2 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

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Analyse Mathématique & Synthèse

Propriétés fondamentales, pièges classiques et astuces pour le traitement des données statistiques.

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

Le Mode : C'est la valeur du caractère (ou la classe) qui a le **plus grand effectif**. C'est un indicateur de position très simple à repérer.
La Valeur Médiane : C'est la valeur du caractère qui partage la population statistique en deux parties égales. Elle correspond au plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à la moitié de l'effectif total ($\frac{N}{2}$).
La Moyenne Arithmétique : Notée $M$, elle est égale à la somme des produits des valeurs du caractère par leurs effectifs correspondants, le tout divisé par l'effectif total ($N$) : $M = \frac{\sum (x_i \times n_i)}{N}$.

📝 Énoncé du Sujet :

Le tableau ci-dessous donne la répartition par âge d'une équipe de 25 joueurs.

Age des joueurs (caractère)	10	11	12	13	14	15	16
Nombre de joueurs (effectif)	8	6	2	1	4	3	1

1) Déterminer le mode de cette série statistique.

2) Déterminer la valeur médiane de cette série statistique.

3) Calculer la moyenne arithmétique de cette série statistique.

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

1) Déterminons le mode de cette série statistique :
Le plus grand effectif de cette série est $8$, et il correspond au caractère (âge) $10$.

Le mode de cette série statistique est : $10\text{ ans}$.

2) Déterminons la valeur médiane de cette série statistique :
Pour cela, construisons d'abord le tableau des effectifs cumulés:

Age (Caractère)	10	11	12	13	14	15	16
Effectif	8	6	2	1	4	3	1
Effectif cumulé	8	14	16	17	21	24	25

L'effectif total est $N = 25$, donc la moitié de l'effectif total est : $\frac{N}{2} = \frac{25}{2} = 12,5$.
Le plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à $12,5$ est **$14$**, et la valeur du caractère associée est $11$.

La valeur médiane de cette série est : $11$.

3) Calculons la moyenne arithmétique ($M$) de cette série :
La formule de la moyenne arithmétique est :
$M = \frac{(10 \times 8) + (11 \times 6) + (12 \times 2) + (13 \times 1) + }{25}+\frac{ (14 \times 4) + (15 \times 3) + (16 \times 1)}{25}$
$M = \frac{80 + 66 + 24 + 13 + 56 + 45 + 16}{25}$
$M = \frac{300}{25} = 12$

La moyenne arithmétique de cette série statistique est : $12$.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

Confondre Effectif et Caractère pour le Mode : Écrire que le mode est $8$ (qui est l'effectif maximal) au lieu de donner la valeur associée qui est $10\text{ ans}$ (le caractère).
Confondre Effectif et Caractère pour la Médiane : Donner comme valeur médiane $14$ (l'effectif cumulé repéré) au lieu de l'âge correspondant qui est $11\text{ ans}$.
Erreur de construction de l'effectif cumulé : Se tromper dans les additions successives du tableau. Une seule erreur fausse irrémédiablement la recherche de la médiane.
Oubli des effectifs dans le calcul de la moyenne : Faire la somme simple des âges ($10+11+12...$) sans les multiplier par le nombre de joueurs correspondants.

🎯 Conseils d'Expert

La case magique de contrôle : Vérifiez toujours que la dernière case de votre ligne "Effectif cumulé" est exactement égale à l'effectif total donné dans l'énoncé (ici $25$). C'est votre filet de sécurité !
Cohérence de la moyenne : Le résultat de votre moyenne arithmétique doit obligatoirement être compris entre la plus petite valeur (10) et la plus grande valeur (16) du caractère. Si vous trouvez 23 ou 5, votre calcul est faux.
Gagnez des points facilement : L'exercice de statistiques est le plus simple de l'examen. Rédigez de manière claire, posez vos fractions proprement et empochez les 2 points complets en moins de 10 minutes.

Exercice 4 : Fonctions Linéaires et Affines (4 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

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Analyse Mathématique & Synthèse

Propriétés fondamentales, pièges classiques et astuces pour maîtriser les fonctions linéaires et affines.

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

Coefficient d'une fonction linéaire : Pour la fonction $f$, le coefficient $a$ se détermine directement par le rapport $a = \frac{f(x)}{x}$ pour tout $x$ ≠ $0$.
Taux d'accroissement d'une fonction affine : Pour la fonction $g$, le coefficient directeur (pente) $m$ se calcule à l'aide de deux points distincts : $m = \frac{g(x_1) - g(x_2)}{x_1 - x_2}$.
L'ordonnée à l'origine : Dans l'expression $g(x) = mx + p$, le nombre $p$ correspond graphiquement à l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées ($y$).
Représentation graphique : La courbe d'une fonction linéaire est une droite qui passe obligatoirement par l'origine du repère $O(0;0)$ , alors que celle d'une fonction affine ne passe pas par l'origine (sauf si $p=0$).

📝 Énoncé du Sujet :

1) On considère la fonction linéaire $f$ telle que : $f(2) = -1$
a) Déterminer le coefficient de la fonction linéaire $f$. b) Écrire $f(x)$ en fonction de $x$. c) Construire $(\Delta)$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O;I;J)$.

2) Dans la figure ci-contre, la droite $(D)$ est la représentation graphique d'une fonction $g$.

Graphique Officiel: Fonction g

"Graphique vectoriel haute fidélité reproduisant la droite affine $(D)$ passant par les points clés $(0;4)$ et $(2;0)$."

a) Déterminer graphiquement l'image de $3$ par la fonction $g$. b) Déterminer graphiquement le nombre dont l'image par la fonction $g$ est $2$. c) Exprimer $g(x)$ en fonction de $x$.

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

1) a) Déterminons le coefficient de la fonction linéaire $f$ :
Puisque $f$ est une fonction linéaire, son coefficient $a$ est donné par la formule : $a = \frac{f(x)}{x}$.
En utilisant la donnée $f(2) = -1$, on obtient : $a = \frac{f(2)}{2} = \frac{-1}{2}$.

Le coefficient de la fonction $f$ est : $-\frac{1}{2}$.

1) b) Écrivons $f(x)$ en fonction de $x$ :
Toute fonction linéaire s'écrit sous la forme $f(x) = ax$.

Par conséquent : $f(x) = -\frac{1}{2}x$.

1) c) Construction de la droite $(\Delta)$ :
La droite $(\Delta)$ passe par l'origine du repère $O(0;0)$ car $f$ est linéaire, et par le point donné $A(2;-1)$. (Voir le graphique ci-dessous).

2) a) Déterminons graphiquement l'image de $3$ par $g$ :
En repérant $3$ sur l'axe des abscisses et en cherchant son ordonnée correspondante sur la droite $(D)$, on trouve $-2$.

L'image de $3$ par $g$ est : $g(3) = -2$.

2) b) Déterminons le nombre dont l'image par $g$ est $2$ :
En repérant $2$ sur l'axe des ordonnées (les images) et en cherchant son abscisse correspondante sur la droite $(D)$, on trouve $1$.

Le nombre recherché est $1$, c'est-à-dire : $g(1) = 2$.

2) c) Exprimons $g(x)$ en fonction de $x$ :
La droite $(D)$ ne passe par l'origine, donc $g$ est une fonction affine d'équation $g(x) = mx + p$.
• L'ordonnée à l'origine $p$ est le point d'intersection de $(D)$ avec l'axe des ordonnées. Graphiquement, la droite coupe cet axe en $4$, donc : $p = 4$.
• La pente $m$ se calcule à l'aide de deux points, par exemple $(1;2)$ et $(3;-2)$ :
$m = \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{-2 - 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

L'expression de la fonction affine $g$ est : $g(x) = -2x + 4$.

Représentation Graphique de la solution de l'execice 4

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

Confondre Image et Antécédent graphiquement : Sur le graphique, lire l'image sur l'axe horizontal ou l'antécédent sur l'axe vertical. Rappel : **$x$ (antécédent) est sur l'axe horizontal, $y$ (image) est sur l'axe vertical**.
Inversion du rapport de la pente : Calculer le coefficient $m$ en inversant la formule $\frac{x_1 - x_2}{g(x_1) - g(x_2)}$, ce qui fausse totalement l'expression de la fonction.
Oublier de déterminer $p$ pour une fonction affine : Se contenter de calculer le coefficient directeur $m$ et oublier de chercher la valeur de l'ordonnée à l'origine $p$ pour compléter l'expression de $g(x)$.
Mauvaise lecture des signes graphiques : Ne pas remarquer qu'une droite qui "descend" (de gauche à droite) possède obligatoirement un coefficient directeur négatif (comme notre droite $(D)$ où $m = -2$).

🎯 Conseils d'Expert pour le Jour J

La lecture graphique rapide de $p$ : Gagnez un temps précieux en repérant directement l'intersection de la droite $(D)$ avec l'axe vertical pour trouver $p=4$ au lieu de faire de longs calculs d'équations.
Vérifiez vos points de tracé : Pour tracer $(\Delta)$, utilisez un tableau de valeurs simple. Puisque $f$ est linéaire, le point $(0;0)$ est acquis, il vous suffit de placer proprement le deuxième point $(2;-1)$ donné dans l'énoncé.
Le lien secret entre Exo 2 et Exo 4 : Remarquez que la droite $(D)$ de cet exercice possède la même expression algébrique ($y = -2x + 4$) que la droite $(D)$ de l'exercice précédent. C'est une excellente occasion de double-vérifier vos réponses !

Exercice 5 : Géométrie dans l'Espace (3 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

📝 Énoncé du Sujet :

Dans la figure ci-contre : $SABCD$ est une pyramide de base le carré $ABCD$, de hauteur $[SA]$ et de volume $216\text{cm}^3$ telle que : $AB = 6\text{cm}$.

1) Montrer que : $SA = 18\text{cm}$.
2) Calculer la distance $SC$.
3) La pyramide $SEFGH$ est une réduction de la pyramide $SABCD$.
Le volume de la pyramide $SEFGH$ est $8\text{cm}^3$.
a) Calculer le rapport de cette réduction. b) Calculer la distance $SE$.

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

1) Montrons que $SA = 18\text{cm}$ :
On sait que le volume d'une pyramide est donné par la formule : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(\text{Base}) \times \text{Hauteur}$.
Puisque la base $ABCD$ est un carré, son aire est : $\text{Aire}(ABCD) = AB^2 = 6^2 = 36\text{cm}^2$.
La hauteur est la distance $SA$, d'où : $V = \frac{1}{3} \times 36 \times SA \implies 216 = 12 \times SA$.
Donc : $SA = \frac{216}{12} = 18\text{cm}$.

La hauteur $SA$ est bien égale à $18\text{cm}$.

2) Calculons la distance $SC$ :
• D'abord, calculons la diagonale $AC$ dans le carré de base $ABCD$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore direct :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
• Ensuite, la droite $[SA]$ est la hauteur de la pyramide, donc elle est perpendiculaire au plan $(ABCD)$, d'où le triangle $SAC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore direct :
$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 18^2 + 72 = 324 + 72 = 396$.
Donc : $SC = \sqrt{396} = \sqrt{36 \times 11} = 6\sqrt{11}\text{cm}$.

La distance $SC$ est égale à $6\sqrt{11}\text{cm} \approx 19,9\text{cm}$.

3) a) Calculons le rapport $k$ de cette réduction :
On sait que lors d'une réduction de rapport $k$, le volume est multiplié par $k^3$ : $V_{\text{réduit}} = k^3 \times V_{\text{initial}}$.
D'après les données : $8 = k^3 \times 216 \implies k^3 = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$.
Puisque $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$, on en déduit le rapport :

Le rapport de réduction est : $k = \frac{1}{3}$.

3) b) Calculons la distance $SE$ :
La distance $SE$ est la hauteur réduite correspondant à la hauteur initiale $SA$.
La formule linéaire de réduction donne : $SE = k \times SA$.
D'où : $SE = \frac{1}{3} \times 18 = 6\text{cm}$.

La distance $SE$ est égale à $6\text{cm}$.

Exercice 6 : Vecteurs et Translation (2 Points)

Sujet Officiel — Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat)

📝 Énoncé du Sujet :

Soient $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$ et $t$ la translation qui transforme $D$ en $C$.
1) Construire le point $E$ image de $B$ par la translation $t$.
2) Construire le point $F$ image de $O$ par la translation $t$.
3) Montrer que le point $F$ est le milieu du segment $[EC]$.

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

Note : La translation $t$ qui transforme $D$ en $C$ a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{DC}$.

1) Construction du point $E$, image de $B$ par $t$ :
Puisque $E$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$, alors : $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{DC}$.
Géométriquement, cela signifie que le quadrilatère $DCEB$ est un parallélogramme.

2) Construction du point $F$, image de $O$ par $t$ :
Puisque $F$ est l'image de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$, alors : $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{DC}$.
Géométriquement, le point $F$ se construit de manière à ce que $\overrightarrow{OF}$ soit égal, parallèle et de même sens que $\overrightarrow{DC}$.

3) Montrons que $F$ est le milieu du segment $[EC]$ :
• D'une part, on sait que $O$ est le centre du parallélogramme $ABCD$, ce qui signifie que $O$ est le milieu de la diagonale $[BD]$, d'ou : $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$.
• D'autre part, considérons la translation $t$ de vecteur $\overrightarrow{DC}$ :
- L'image de $B$ est $E \implies t(B) = E$. - L'image de $O$ est $F \implies t(O) = F$. - L'image de $D$ est $C \implies t(D) = C$.
Puisque la translation conserve l'égalité vectorielle, et comme $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$, alors leurs images respectives conservent la même structure :
$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FC}$.

Puisque $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{FC}$, alors le point $F$ est bien le milieu du segment $[EC]$.

Illustration: Vecteurs et Translation t

Construction géométrique évaluant la translation t de vecteur $\overrightarrow{DC}$, montrant l'alignement et l'égalité vectorielle $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FC}$.

3ème Année Collège Examen Régional

Prof. Jamal Benachim

Expert Pédagogique - 18 ans d'expérience

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Examen Régional 3AC 2025 Maths (Casablanca-Settat): Sujet et Corrigé Détaillé

Structure de l'Épreuve selon le Cadre Référentiel

📊 Algèbre & Fonctions

📐 Géométrie

📈 Organisation des Données

Plan du Corrigé :

Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes

Exercice 2 : Repère dans le Plan et équations de droites

Exercice 3 : Statistiques

Exercice 4 : Fonctions Linéaires et Affines

Exercice 5 : Géométrie dans l'Espace

Exercice 6 : Vecteurs et Translation

Examen Régional Commun 2025

📐 Exercice 1 : Équations, Inéquations et Systèmes (5 Points)

Analyse Mathématique & Synthèse

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

🎯 Conseils d'Expert

📐 Exercice 2 : Repère dans le Plan et équations de droites (4 Points)

Analyse Mathématique & Synthèse

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

🎯 Conseils d'Expert

Exercice 3 : Statistiques (2 Points)

Analyse Mathématique & Synthèse

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

🎯 Conseils d'Expert

Exercice 4 : Fonctions Linéaires et Affines (4 Points)

Analyse Mathématique & Synthèse

🔑 Propriétés Mathématiques Clés

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

🎯 Conseils d'Expert pour le Jour J

Exercice 5 : Géométrie dans l'Espace (3 Points)

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

Exercice 6 : Vecteurs et Translation (2 Points)

✅ Rédaction Modèle & Barème Officiel

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