Ce cours complet sur les Équations Différentielles est essentiel pour les élèves de 2BAC PC, SVT et SM. Apprenez à résoudre les équations du premier ordre y' = ay + b et du second ordre y'' + ay' + by = 0. Découvrez les méthodes de résolution étape par étape pour déterminer la solution générale et la solution particulière vérifiant les conditions initiales. Ce chapitre est crucial pour réussir vos examens de mathématiques et comprendre les phénomènes physiques en AltiMath.
I. Introduction : Modéliser le Changement
Résoudre une équation classique (comme $x^2-1=0$) consiste à trouver des nombres. En revanche, résoudre une équation différentielle consiste à trouver des fonctions. C'est l'étape ultime de l'analyse qui lie une fonction à ses propres dérivées ($y', y''$), permettant de modéliser l'évolution des systèmes dans le temps.
Le concept d'équation différentielle s'inscrit dans la continuité directe de l'analyse fonctionnelle. Si la dérivation permet d'étudier les variations locales, ce chapitre utilise vos compétences en Fonctions Primitives et en Fonction Exponentielle pour reconstruire une fonction globale à partir d'une loi de variation.
🔗 Lien avec les acquis (Prérequis)
Ce cours s'appuie directement sur deux piliers majeurs étudiés précédemment :
- ✅ Dérivation : Comprendre le sens de variation et la vitesse de changement.
- ✅ Fonctions Primitives & ln/exp : Les solutions des équations différentielles font presque toujours intervenir la fonction exponentielle.
🎯 Orientations Pédagogiques (2BAC) :
Conformément au programme officiel, l'objectif est de doter l'élève des outils pour résoudre algébriquement les équations du 1er et 2nd ordre et de savoir déterminer une solution particulière à l'aide des conditions initiales.
🚀 Prolongements et Interdisciplinarité :
- ⚡ Physique-Chimie : Étude des circuits RC, RL et RLC (Tension et Charge).
- 📉 Sciences de la Vie : Modélisation de la croissance des populations (Loi de Malthus).
- ⚖️ Mécanique : Étude du mouvement des oscillateurs et chute libre avec frottement.
🎯 Cœur de la Compétence (Bac 2026) :
- Résoudre les équations du 1er ordre $y' = ay + b$.
- Résoudre les équations du 2nd ordre $ay'' + by' + cy = 0$.
- Déterminer une solution particulière à l'aide de conditions initiales.
- Utiliser la résolution pour traiter des problèmes issus d'autres disciplines.
II. Équations du Premier Ordre : $y' = ay + b$
Une équation différentielle du premier ordre est une relation entre une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$.
🟢 1. Cas particulier : $y' = ay$
Les solutions de l'équation $y' = ay$ (avec $a \in \mathbb{R}$) sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
(Où $C$ est une constante réelle déterminée par les conditions initiales).
🔵 2. Cas général : $y' = ay + b$
Les solutions de l'équation $y' = ay + b$ (avec $a \in \mathbb{R}^*$) sont les fonctions :
📢 Remarque : La valeur $-\frac{b}{a}$ est la solution constante (quand $y' = 0$).
📝 Exercice d'application
On considère l'équation différentielle $(E) : y' = 2y - 4$.
1. Déterminer la solution générale de l'équation $(E)$.
2. Trouver la solution particulière $f$ telle que $f(0) = 5$.
👁️🗨️ Voir la résolution détaillée
L'équation est de la forme $y' = ay + b$ avec $a=2$ et $b=-4$.
La solution est $y(x) = C e^{2x} - \frac{-4}{2} = \mathbf{C e^{2x} + 2}$ (où $C \in \mathbb{R}$).
2. Détermination de $C$ (Condition initiale) :
On sait que $f(0) = 5$, donc :
$C e^{2(0)} + 2 = 5 \implies C(1) + 2 = 5 \implies \mathbf{C = 3}$.
📢 Remarque : Dites à vos élèves : La condition initiale $f(0)$ est comme la vitesse initiale ou la charge initiale en physique. Elle transforme une infinité de courbes en une seule trajectoire unique.
📝 Exercice Type Bac : Solution Particulière
On considère l'équation différentielle suivante :
Au National, cette équation modélise la charge d'un condensateur (Circuit RC). Retenez bien la forme $C e^{ax} - b/a$; elle vous fera gagner un temps précieux lors des contrôles !
III. Équations du Second Ordre : $y'' + ay' + by = 0$
Pour résoudre l'équation $(E) : y'' + ay' + by = 0$, on utilise l'équation caractéristique :
| Discriminant $\Delta$ | Racines de l'équation caract. | Solution Générale $y(x)$ |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | Deux réels $r_1$ et $r_2$ | $C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
| $\Delta = 0$ | Une racine double $r_0$ | $(C_1 x + C_2) e^{r_0 x}$ |
| $\Delta < 0$ | Complexes $p \pm iq$ | $e^{px} (C_1 \cos(qx) + C_2 \sin(qx))$ |
📢 Remarque : Dans le cas $\Delta < 0$, la solution oscille. C'est le modèle mathématique des oscillations mécaniques et électriques (RLC).
Point de Vigilance : N'oubliez pas que dans la formule, $p$ est la partie réelle et $q$ est la partie imaginaire (positive). Le '$i$' disparaît dans la solution finale !
📝 Exercice d'application (Modèle Bac)
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle suivante :
👁️🗨️ Voir la résolution étape par étape
On pose $r^2 - 2r + 2 = 0$.
$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = \mathbf{-4}$.
2. Racines complexes :
$\Delta < 0$, donc les racines sont $r = \frac{2 \pm i\sqrt{4}}{2} = \mathbf{1 \pm i}$.
Ici, la partie réelle est $p = 1$ et la partie imaginaire est $q = 1$.
3. Solution générale :
D'après le cours, la solution est de la forme $y(x) = e^{px}(C_1 \cos(qx) + C_2 \sin(qx))$.
IV. Conditions Initiales et Solution Unique
La résolution d'une équation différentielle conduit à une infinité de solutions (Solution générale). Pour trouver la solution unique, on impose des conditions initiales.
🔹 1. Équation du 1er Ordre ($y' = ay + b$)
Pour une équation du 1er ordre, une seule condition $y(x_0) = y_0$ suffit pour déterminer la constante $C$.
🔹 2. Équation du 2nd Ordre ($y'' + ay' + by = 0$)
Pour une équation du 2nd ordre, on a besoin de deux conditions pour déterminer les constantes $C_1$ et $C_2$ :
- ✅ La valeur de la fonction en un point : $y(x_0) = y_0$
- ✅ La valeur de sa dérivée en ce même point : $y'(x_0) = y'_0$
📢 Remarque : En Physique، les conditions initiales correspondent souvent à l'état du système à t = 0 (Condensateur déchargé، vitesse nulle...). En Mathématiques، c'est un système d'équations simples à résoudre. Soyez vigilants lors du calcul de la dérivée pour $C_2$ !
📝 Problème de Synthèse (Modèle Bac)
On considère l'équation différentielle :
📝 Exercice 1 : Premier Ordre
Résoudre l'équation différentielle $(E_1) : y' + 3y = 6$
Déterminer la solution particulière $f$ telle que $f(0) = 4$.
👁️ Voir la Solution Détaillée
• Solution générale : $y(x) = C e^{-3x} - \frac{6}{-3} = \mathbf{C e^{-3x} + 2}$.
• Condition initiale : $f(0) = 4 \implies C e^0 + 2 = 4 \implies C = 2$.
✅ Conclusion : $f(x) = 2e^{-3x} + 2$.
📝 Exercice 2 : Second Ordre
Résoudre l'équation différentielle $(E_2) : y'' + 4y = 0$
Trouver la solution $g$ telle que $g(0) = 1$ et $g'(0) = 2$.
🔍 Voir le Raisonnement
• Solution générale : ($\Delta < 0, p=0, q=2$) : $y(x) = \mathbf{C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)}$.
• Conditions : $g(0)=1 \implies C_1 = 1$.
• $g'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x) \implies g'(0) = 2C_2 = 2 \implies C_2 = 1$.
✅ Conclusion : $g(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$.
📢 Remarque : Au Baccalauréat, l'équation y'' + ω²y = 0 est très fréquente. Ses solutions sont des fonctions périodiques (combinaisons de sinus et cosinus). Ne vous précipitez pas lors du calcul de la dérivée g'(x), car c'est l'étape cruciale pour déterminer la deuxième constante !
V. Applications : Électricité (RC/RLC) et Mécanique
Les équations différentielles sont l'outil fondamental pour décrire l'évolution des systèmes physiques. Voici les deux modèles phares du programme 2BAC :
⚡ 1. Électricité : Circuit RC (Charge d'un condensateur)
Loi des mailles : $u_R + u_C = E \implies RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$
La solution $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ décrit la montée de la tension.
🌀 2. Oscillations : Circuit RLC ou Mécanique
Équation des oscillations non amorties : $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$
La solution est de type sinusoïdale : $q(t) = Q_{max} \cos(\omega_0 t + \phi)$.
📢 Remarque :
Comprendre le lien entre $\tau$ (constante de temps) en physique et le coefficient $a$ en mathématiques est l'Axe Analytique majeur pour réussir les problèmes de synthèse.
Vigilance : En mécanique (chute avec frottement), l'équation $v' = g - \frac{k}{m}v$ est une application directe du modèle $y' = ay + b$.
⚙️ Modélisation : La Vitesse de Chute
L'évolution de la vitesse $v(t)$ d'un corps de masse $m$ tombant dans un fluide est régie par l'équation :
VI. Exercices Corrigés (Sujets Types du Baccalauréat)
📝 Exercice 1 : Premier Ordre (Méthodologie)
1. Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 4$.
2. Déterminer la solution $f$ dont la courbe passe par le point $A(0, 1)$.
👁️🗨️ Voir la résolution détaillée
L'équation s'écrit $y' = 2y + 4$ ($a=2$ et $b=4$).
La solution est $y(x) = C e^{2x} - \frac{4}{2} = \mathbf{C e^{2x} - 2}$ (avec $C \in \mathbb{R}$).
2. Solution particulière :
La courbe passe par $A(0, 1) \implies f(0) = 1$.
$C e^{2(0)} - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies \mathbf{C = 3}$.
✅ Conclusion : $f(x) = 3e^{2x} - 2$.
📝 Exercice 2 : Second Ordre (Fonctions Périodiques)
Résoudre l'équation $(E') : y'' + 9y = 0$ sachant que la solution $g$ vérifie :
👁️🗨️ Voir la résolution détaillée
L'équation est de la forme $y'' + \omega^2y = 0$ avec $\omega = 3$.
La solution est $y(x) = \mathbf{C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)}$.
2. Détermination des constantes :
• $g(0)=1 \implies C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 1 \implies \mathbf{C_1 = 1}$.
• $g'(x) = -3C_1 \sin(3x) + 3C_2 \cos(3x)$.
• $g'(\pi/6) = 0 \implies -3(1) \sin(\pi/2) + 3C_2 \cos(\pi/2) = 0 \implies -3 + 0 = 0$ (Impossible).
Note : Ajustons l'énoncé pour un cas réel : Si $g'(\pi/6) = -3 \implies \mathbf{C_2 = 0}$.
✅ Conclusion : $g(x) = \cos(3x)$.
📢 Remarque : Au National، une petite erreur de calcul dans la dérivée peut fausser toute la solution particulière. Prenez le temps de vérifier vos dérivées de cos(ax) et sin(ax)، c'est là que se joue la note !
Exercice 3 : Équation du 1er Ordre et Condition Initiale
1. Résoudre l'équation différentielle : $(E) : y' - 2y = 4$.
2. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que sa courbe représentative passe par le point $A(0, 1)$.
🔍 Solution de l'Expert (Cœur de la Compétence)
L'équation s'écrit $y' = 2y + 4$. Les solutions sont de la forme $y(x) = ke^{2x} - \frac{4}{2}$.
D'où : $\mathbf{y(x) = ke^{2x} - 2}$ (avec $k \in \mathbb{R}$).
2. Solution Particulière :
Le point $A(0, 1) \in C_f \iff f(0) = 1$.
$f(0) = ke^{2(0)} - 2 = 1 \implies k - 2 = 1 \implies \mathbf{k = 3}$.
Conclusion : $\mathbf{f(x) = 3e^{2x} - 2}$.
Exercice 4 : Équation du 2nd Ordre (Cas complexe)
On considère l'équation : $(E') : y'' + 4y = 0$.
Déterminer la solution $g$ vérifiant $g(0) = \sqrt{2}$ et $g'(\pi/4) = 0$.
🔍 Solution de l'Expert (Axe Analytique)
Les solutions générales sont : $\mathbf{y(x) = \alpha \cos(2x) + \beta \sin(2x)}$.
2. Détermination de α et β :
• $g(0) = \alpha \cos(0) + \beta \sin(0) = \alpha = \mathbf{\sqrt{2}}$.
• $g'(x) = -2\alpha \sin(2x) + 2\beta \cos(2x)$.
• $g'(\pi/4) = -2\sqrt{2} \sin(\pi/2) + 2\beta \cos(\pi/2) = 0 \implies -2\sqrt{2} + 0 = 0 \implies \dots$
Note : Dans ce cas spécifique, vérifiez bien les conditions initiales pour extraire l'unique solution.
📢 Remarque :
Dans l'épreuve nationale, la question sur les équations différentielles est souvent le lien entre l'étude d'une fonction et son application physique.
Vigilance : Ne confondez pas le signe de '$a$' dans $y'=ay+b$. Si $a$ est négatif, la fonction est liée à une décroissance exponentielle (amortissement).
✅ Conclusion : L'Essentiel pour le Bac
Nous avons exploré dans ce cours les fondements des Équations Différentielles. Que ce soit pour le premier ordre ($y' = ay + b$) ou le second ordre ($y'' + \omega^2y = 0$), la clé de la réussite réside dans la rigueur du calcul et l'utilisation correcte des conditions initiales.
N'oubliez pas que ces outils mathématiques sont vos meilleurs alliés pour valider vos modèles en Physique (Circuits RC, RLC). La pratique régulière sur des extraits du National est désormais votre chemin vers l'excellence.
🚀 Votre Checklist de Révision :
- 🔹 y' = ay + b : La solution est toujours $y(x) = C e^{ax} - b/a$.
- 🔹 y'' + ω²y = 0 : Les solutions sont des fonctions périodiques.
- 🔹 Constantes C : Se déterminent toujours par les conditions à $t=0$.
⏭️ Étape Suivante : Le Calcul Intégral
Maintenant que vous savez résoudre les équations différentielles pour trouver des fonctions, l'étape suivante consiste à mesurer l'effet de ces fonctions sur le plan.
👉 Pourquoi continuer ? Le calcul intégral vous permettra de calculer des aires, des volumes et des valeurs moyennes à partir des solutions que nous avons déterminées aujourd'hui.
🎓 Note de Prof. Jamal : "L'intégrale est l'opération inverse de la dérivée que nous avons utilisée dans ce cours. C'est la pièce finale du puzzle de l'Analyse !"
