Ce cours détaillé sur la Fonction Exponentielle (exp) est une ressource incontournable pour les élèves de 2BAC PC, SVT et SM. Vous y apprendrez que la fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien (ln). Maîtrisez ses propriétés algébriques fondamentales, son ensemble de définition ($\mathbb{R}$), ses limites usuelles indispensables pour le Baccalauréat, ainsi que l'étude complète de sa dérivée et de sa courbe représentative. Progressez rapidement avec nos explications claires et nos exercices d'application sur AltiMath.
Dans notre cours précédent sur la fonction Logarithme Népérien ln , nous avons découvert une fonction capable de transformer les produits en sommes. Cependant, une question fondamentale subsiste : Existe-t-il une fonction capable de faire l'inverse ?
Puisque la fonction $\ln$ est une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$, elle admet mathématiquement une fonction réciproque. C'est précisément cette réciproque que nous appelons Fonction Exponentielle Népérienne, notée $\exp$ ou $e^x$.
Comprendre ce lien de réciprocité est la clé pour maîtriser les équations et les inéquations complexes du Baccalauréat. Si le logarithme "comprime" les nombres, l'exponentielle les "propulse", une dualité que l'on retrouve au cœur de tous les phénomènes de croissance en Physique et en Biologie.
I. Introduction et Définition de la Fonction $\exp$
La fonction Exponentielle Népérienne, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction Logarithme Népérien ($\ln$). Puisque la fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $]0, +\infty[$, elle réalise une bijection de $]0, +\infty[$ vers $\mathbb{R}$. Sa réciproque, la fonction $\exp$, est donc définie sur $\mathbb{R}$.
🔗 Extensions du Cours (Perspectives)
- Équations Différentielles : La fonction $e^x$ est indispensable pour résoudre les équations du type $y' = ay + b$, modélisant des phénomènes d'évolution.
- Physique et Chimie : Utilisation cruciale dans la radioactivité (décroissance radioactive), les circuits RC/RL en électricité, et la cinétique chimique.
- Nombres Complexes : Introduction de la forme exponentielle $e^{i\theta}$, simplifiant énormément les calculs trigonométriques.
- Calcul Intégral : Recherche de primitives complexes et calcul d'aires sous des courbes à croissance rapide.
⚡ Perspectives Physiques et Sciences
En 2BAC PC/SVT, la fonction exponentielle est indispensable pour modéliser l'évolution temporelle de systèmes dynamiques :
- Physique Nucléaire : Pour exprimer la loi de décroissance radioactive ($N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$).
- Électricité : Pour étudier la réponse d'un dipôle RC ou RL lors de la charge ou décharge d'un condensateur.
- Biologie : Pour modéliser la croissance exponentielle de populations bactériennes.
🔑 Relation de Réciprocité :
$\ln(x) = y \iff x = e^y \quad$ avec $x > 0$ et $y \in \mathbb{R}$
1. Définition Mathématique
La fonction exponentielle népérienne est la bijection réciproque de la fonction $\ln$. Elle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$ vers $]0, +\infty[$.
📉 Symétrie Axiale (Bijection ) : $f(x)=e^x$ et $g(x)=\ln(x)$
👨🏫 Analyse de l'Expert :
• Symétrie : Vous voyez clairement que $C_{\exp}$ (Orange) est l'image de $C_{\ln}$ (Bleu) par rapport à la droite rouge $y=x$.
• Asymptotes : L'axe des ordonnées est une asymptote verticale pour $\ln$, tandis que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale pour $\exp$ au voisinage de $-\infty$.
👨🏫 Conseil de l'Expert (AltiMath) :
Notez bien la symétrie parfaite par rapport à la droite $y=x$.
• L'asymptote verticale de $\ln$ ($x=0$) devient une asymptote horizontale pour $\exp$ ($y=0$).
• Le point $(1,0)$ de $C_{\ln}$ devient le point $(0,1)$ de $C_{\exp}$.
• Le secret pour maîtriser l'exponentielle est de se rappeler qu'elle annule le logarithme. Retenez bien : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$.
II. Propriétés Algébriques de la fonction $e^x$
La fonction exponentielle possède des propriétés remarquables qui rappellent celles des puissances . Soient $a$ et $b$ deux réels quelconques :
-
1. Produit (Relation fondamentale) : $e^{a+b} = e^a \times e^b$
(Transforme une somme en produit - l'inverse du $\ln$) - 2. Inverse et Quotient : $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ et $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$
- 3. Puissance : $(e^x)^n = e^{nx}$ (pour tout $n \in \mathbb{Q}$)
III. Limites Usuelles et Croissance Comparée
🟠 1. Limites aux bornes de $\mathbb{R}$
(Remarque : La droite $y=0$ est une asymptote horizontale à $C_{exp}$ au voisinage de $-\infty$)
🔵 2. Croissance Comparée (Le duel des puissances)
En $+\infty$, la fonction exponentielle est beaucoup plus puissante que n'importe quelle puissance de $x$.
| Voisinage de $+\infty$ | Voisinage de $-\infty$ |
|---|---|
| $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ | $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ |
🟢 3. Limite liée au nombre dérivé
1. Croissances Comparées : $\ln(x)$ vs $e^x$
| Voisinage | Fonction $\ln$ | Fonction $\exp$ |
|---|---|---|
| $\pm\infty$ | $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ | $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ |
| Croissance Comparée | $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = \color{#d93025}{0}$ (Le polynôme gagne) |
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = \color{#ff8c00}{+\infty}$ (L'exponentielle écrase tout) |
| Nombre Dérivé | $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = \mathbf{1}$ | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \mathbf{1}$ |
Attention mes élèves ! En $+\infty$, si vous avez une forme indéterminée, essayez de factoriser par $e^x$. En $-\infty$, cherchez à utiliser la forme $x e^x$. Ce sont les deux clés d'or pour réussir votre examen national !
IV. Dérivation et Étude des Variations
🟢 1. Dérivée de la fonction $e^x$
La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée est elle-même :
(Propriété unique : c'est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée et qui vaut 1 en 0).
🔵 2. Dérivée de la fonction composée $e^{u(x)}$
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
🟠 3. Sens de Variation et Tableau de Variations
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$ (L'exponentielle est toujours strictement positive).
- La fonction $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- Comparaison : $e^a < e^b$ $\iff a$ < b (Utile pour résoudre les inéquations).
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ |
| $f'(x) = e^x$ | + | ||
| $f(x) = e^x$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ |
|
|
|||
📌 Points Clés à retenir :
- L'image de $0$ par la fonction exponentielle est $e^0 = 1$.
- L'image de $1$ est $e^1 \approx 2,718$ (le nombre d'Euler).
- Puisque $f$ est croissante, pour tous réels $a$ et $b$ : $e^a = e^b \iff a = b$ et $e^a < e^b \iff a < b$.
🎓 Le Conseil de Prof. Jamal :
"Pour étudier le signe d'une expression contenant $e^x$, rappelez-vous que $e^x$ ne change jamais le signe. Le signe dépend uniquement de ce qui est multiplié ou ajouté à l'exponentielle. C'est un gain de temps énorme lors de l'étude de fonctions !"
VI. Représentation Graphique $C_{exp}$
Dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, la courbe de la fonction exponentielle possède des caractéristiques géométriques majeures liées à sa réciprocité avec la fonction $\ln$.
🔍 Propriétés de la Courbe $C_{exp}$ :
- Asymptote : La droite $y=0$ est une asymptote horizontale à $C_{exp}$ au voisinage de $-\infty$.
- Branche Parabolique : $C_{exp}$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$ au voisinage de $+\infty$.
- Position relative : La courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses ($e^x > 0$).
- Points Particuliers : Elle passe par $A(0,1)$ et $B(1,e)$.
- Passe par le point (0, 1) car $e^0 = 1$.
- Admet $y=0$ comme asymptote à $-\infty$.
- Branche parabolique vers $(Oy)$ à $+\infty$.
- Symétrie par rapport à la droite $y=x$.
- Le point $(a, b) \in C_{\ln} \iff (b, a) \in C_{\exp}$.
- Le nombre $e \approx 2.71$ est l'image de 1.
En examinant $C_{exp}$, remarquez la croissance fulgurante vers $+\infty$. C'est pourquoi en physique, on parle d'explosion exponentielle. Pour l'examen, retenez bien la symétrie : si vous savez tracer $\ln$, vous savez tracer $\exp$ !
VII. Équations et Inéquations Exponentielles
🔗 Le Passage de l'Analyse à l'Algèbre
Après avoir exploré les propriétés analytiques de la fonction exponentielle (limites, dérivées et variations), il est crucial de maîtriser son aspect algébrique. En effet, l'étude de la position relative de deux courbes ou la recherche des points d'intersection avec les axes nécessite impérativement la résolution d'équations et d'inéquations spécifiques.
Grâce à sa monotonie stricte (elle est strictement croissante), la fonction $\exp$ nous offre des outils simplifiés pour transformer des expressions complexes en équations linéaires ou du second degré que nous avons appris à résoudre précédemment.
Pour résoudre les défis de ce chapitre, nous allons réutiliser les techniques fondamentales de notre Cours sur les Équations et Inéquations . Que ce soit par le calcul du discriminant $\Delta$ ou par le changement de variable, les méthodes restent les mêmes : seule la "forme" change avec l'introduction de l'exponentielle.
Pour résoudre des équations ou inéquations contenant $e^x$, on utilise la strict croissance de la fonction et sa bijection de $\mathbb{R}$ vers $]0, +\infty[$.
🔹 1. Propriétés Fondamentales
- ✅ Égalité : $e^a = e^b \iff a = b$
- ✅ Ordre : $e^a < e^b \iff a < b$
- ✅ Passage au $\ln$ : $e^x = a \iff x = \ln(a) \quad (\text{avec } a > 0)$
📝 Exemples de Résolution
$\implies 2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies \mathbf{x = 2}$
$\implies \ln(e^x) \ge \ln(5) \implies \mathbf{x \ge \ln(5)}$
📝 Exemple : Inéquation du 1er degré
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x-1} \geq e^x$
🔥 Niveau Avancé : Second degré
Résoudre : $e^{2x} - e^x - 2 < 0$
"Mes chers élèves, n'oubliez jamais : l'équation $e^x = -2$ n'a pAS de solution dans $\mathbb{R}$ car l'exponentielle est toujours strictement positive ($e^x > 0$). Ne tombez pas dans ce piège classique au National !"
N'oubliez pas que résoudre une inéquation, c'est aussi penser au domaine de définition. Dans le cas de l'exponentielle, le domaine est $\mathbb{R}$, mais gardez toujours un œil sur la condition $e^x > 0$ lors du changement de variable !
VIII. Changement de Variable : $X = e^x$
Certaines équations semblent complexes car elles contiennent des termes en $e^{2x}$ et $e^x$. La technique consiste à poser $X = e^x$ pour transformer l'expression en une équation classique du second degré.
Rappel : $e^{2x} = (e^x)^2 = X^2$
📝 Exemple 1 Type Bac: Résoudre $e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$e^{2x} - 4e^x + 3 = 0$
👁️🗨️ Cliquer ici pour voir la solution détaillée
1. Changement de variable : On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$).
L'équation devient : $X^2 - 4X + 3 = 0$.
2. Calcul du discriminant :
$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = \mathbf{4} > 0$.
3. Solutions pour $X$ :
$X_1 = \frac{4-\sqrt{4}}{2} = \mathbf{1}$ et $X_2 = \frac{4+\sqrt{4}}{2} = \mathbf{3}$.
4. Retour à la variable $x$ :
• $e^x = 1 \implies x = \ln(1) = \mathbf{0}$
• $e^x = 3 \implies \mathbf{x = \ln(3)}$
N'ouvrez la solution qu'après avoir essayé de calculer $\Delta$ vous-même. C'est ainsi que l'on progresse en mathématiques !
📝 Exemple 2 Type Bac: Résoudre $(e^x - 3)(2e^x + 1) = 0$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
$(e^x - 3)(2e^x + 1) = 0$
Attention ! Si après avoir résolu l'équation en $X$, vous trouvez une valeur négative (par exemple $X = -5$), alors cette solution est impossible car $e^x$ ne peut jamais être négatif. N'écrivez jamais $\ln(-5)$ !
📝 Problème d'Analyse (Modèle National)
🔍 Énoncé du Problème 1
- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
- Montrer que la droite $(\Delta) : y = x$ est une asymptote oblique à $C_f$ au voisinage de $-\infty$.
- Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = x e^x + 1$.
- En déduire que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
📋 Les Questions :
🔍 Solution et Représentation
📂 Afficher la Correction : Limites et Asymptotes
• $\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x + x = \lim_{x \to -\infty} xe^x - e^x + x = 0 - 0 + (-\infty) = \mathbf{-\infty}$.
• $\lim_{x \to -\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0$, donc $(\Delta) : y = x$ est bien une asymptote.
📂 Afficher la Correction : Dérivation et Variations
• Puisque pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) > 0$ (après étude du signe de $xe^x+1$), alors $f$ est strictement croissante.
🔍 Énoncé du Problème 2
L'expression de la fonction :
$f(x) = (x-2)e^x + x$
📋 Les Questions :
- Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
- Étudier la branche infinie de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
- Calculer la dérivée $f'(x)$ et montrer que $f$ est strictement croissante.
- Construire la courbe $(C_f)$ dans un repère orthonormé.
🔍 Solution et Représentation
1. Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$.
Comme $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, alors $\mathbf{\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty}$.
• En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} (x-1)e^x + x = (+\infty \times +\infty) + \infty = \mathbf{+\infty}$.
2. Étudier les branches infinies au voisinage de $+\infty$.
Conclusion : $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
3. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
On admet que $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, donc $f$ est strictement croissante.
