La fonction Logarithme Népérien, notée ln, est l'un des piliers de l'analyse mathématique au lycée. Elle apparaît historiquement comme la solution au problème de la recherche d'une primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$. Au-delà des mathématiques pures, c'est un outil indispensable pour modéliser des phénomènes naturels complexes.
Après avoir étudié les Généralités sur les fonctions en Tronc Commun, nous abordons aujourd'hui l'une des fonctions les plus importantes du programme de 2BAC : la fonction Logarithme Népérien. Essentielle pour l'examen national, elle ouvre la porte à l'étude des phénomènes de croissance et de modélisation.
⚡ Applications en Physique (2BAC)
En tant qu'élève de 2BAC, vous rencontrerez la fonction $\ln$ (et sa réciproque l'exponentielle) dans plusieurs chapitres clés :
- Électricité (RC / RL) : Pour exprimer le temps de charge d'un condensateur ($t = -\tau \ln(1 - \frac{u_c}{E})$).
- Nucléaire : Dans l'étude de la décroissance radioactive pour calculer l'âge des sédiments ou la demi-vie $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
- Chimie : Pour définir le pH d'une solution via le logarithme décimal ($\log_{10}$).
🎯 Objectifs Mathématiques :
Maîtriser le domaine de définition $]0, +\infty[$, les limites aux bornes (Formes Indéterminées), et la technique de dérivation de $\ln(u(x))$.
II. Définition et Ensemble de Définition
1. Définition Mathématique
La fonction Logarithme Népérien est l'unique primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.
III. Propriétés Fondamentales Algébriques de $\ln$
Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs ($a > 0$ et $b > 0$) et $n$ un entier relatif ($n \in \mathbb{Z}$).
1. Logarithme d'un Produit
Explication : La fonction $\ln$ transforme un produit en une somme. C'est sa propriété fondamentale.
Exemple : $\ln(6) = \ln(2 \times 3) = \ln(2) + \ln(3)$.
2. Logarithme d'un Quotient (Divisions)
De la même manière, le logarithme transforme une division en une soustraction. C'est une propriété directe de la relation fondamentale :
Conséquence : $\ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a)$.
Exemple : $\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)$.
3. Puissance et Racine Carrée
Le logarithme "fait descendre" les exposants, ce qui facilite grandement la résolution d'équations où l'inconnue est en exposant :
Note : Cette règle permet de sortir l'exposant $n$ à l'extérieur du logarithme.
Exemple : $\ln(8) = \ln(2^3) = 3 \ln(2)$.
🎓 Le Conseil de Prof. Jamal (18 ans d'expertise)
"Attention aux erreurs classiques ! N'oubliez jamais que la fonction $\ln$ transforme un produit en somme et un quotient en différence.
Le piège à éviter : Ne confondez pas $\ln(a \times b)$ avec $\ln(a + b)$. Il n'existe aucune règle pour simplifier $\ln(a + b)$. De plus, assurez-vous toujours que l'argument à l'intérieur du logarithme est strictement positif avant d'appliquer toute propriété."
IV. Limites Usuelles et Croissance Comparée
Pour lever les Formes Indéterminées ($F.I.$), nous utilisons des limites de référence. La règle d'or est la prédominance des puissances sur le logarithme.
1. Les Limites aux Bornes (Comportement Asymptotique)
Ces deux limites fondamentales nous informent sur le comportement de la courbe $C_{ln}$ aux extrémités de son domaine $]0 ; +\infty[$ :
📉 Interprétation : $x=0$ est une asymptote verticale.
📈 Interprétation : La courbe diverge vers l'infini.
🟠 1. Au voisinage de $+\infty$
Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$.
On pose $X = \sqrt{x} \rightarrow \ln(x) = \ln(X^2) = 2\ln(X)$.
La limite devient $\lim_{X \to +\infty} \frac{2\ln(X)}{X} = 2 \times 0 = \mathbf{0}$.
🔵 2. Au voisinage de $0^+$
Calculer $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln(x)$.
C'est une forme directe du cours ($x^n \ln(x)$ avec $n=2$).
La limite est $\mathbf{0}$.
🟢 3. Limites Spéciales (Taux d'accroissement)
Calculer $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2)}{x-1}$.
On sait que $\ln(x^2) = 2\ln(x)$.
La limite devient $\lim_{x \to 1} 2 \times \frac{\ln(x)}{x-1} = 2 \times 1 = \mathbf{2}$.
📝 Exemples d'Application (Niveau Bac 2026)
1. Dans les examens nationaux, si vous tombez sur une forme indéterminée avec du $\ln$, cherchez toujours à faire apparaître $\frac{\ln(X)}{X}$ ou $X\ln(X)$ par changement de variable ou factorisation. C'est l'astuce ultime !
2. En examen, face à une Forme Indéterminée (F.I) de type $\frac{\infty}{\infty}$ avec du $\ln(x)$, cherchez toujours à faire apparaître la limite $\frac{\ln(x)}{x}$. C'est le réflexe numéro 1 à avoir pour débloquer la situation !
3. Retenez bien : à l'infini, la puissance $x^n$ l'emporte toujours sur $\ln(x)$. C'est ce qu'on appelle la hiérarchie des croissances.
Petit secret : Si vous oubliez $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}$, souvenez-vous qu'il s'agit simplement du nombre dérivé de $\ln$ en 1 !
V. Dérivation et Étude de la Fonction $\ln$
1. Dérivabilité et Formules
La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et sa fonction dérivée est :
Cas de la fonction composée : Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur $I$ :
2. Variations de la fonction $\ln$
Puisque $\forall x > 0$, $(\ln(x))' = \frac{1}{x} > 0$, alors la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
| $x$ | 0 | $+\infty$ | |
| $(\ln(x))'$ | || | + | |
| $\ln(x)$ | $-\infty$ | ↗️ | $+\infty$ |
3. Allure de la Courbe $C_{\ln}$
- Asymptote : La droite $x=0$ est une asymptote verticale.
- Branche infinie : $C_{\ln}$ admet une branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$ au voisinage de $+\infty$.
- Point particulier : La courbe passe par $A(1, 0)$ et $B(e, 1)$ (où $e \approx 2,718$).
- Concavité : Puisque $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2} < 0$, la courbe est concave.
Attention à la rédaction ! Avant de calculer $(\ln(u))'$, vous devez obligatoirement justifier que la fonction $u$ est dérivable et strictement positive trên l'intervalle d'étude. C'est le secret pour ne pas perdre des 0.25 précieux au National !
"N'oubliez jamais la double barre (||) en 0 ! La fonction n'y est ni définie ni dérivable.
Astuce Bac : Si vous étudiez une fonction composée $f(x) = \ln(u(x))$, la dérivée $u'/u$ vous donne instantanément le signe des variations. Maîtrisez cette formule, elle tombe chaque année !"
📚 Exercice Type Bac : Étude d'une Fonction Composée
Focus : Dérivation et Limites (Expertise 18 ans)
Énoncé :
Soit $f$ la fonction définie sur $]1 ; +\infty[$ par : $f(x) = \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
👨🏫 Parole de Prof (2BAC)
"Dans cet exercice, la clé est la dérivée composée.
Astuce : Vérifiez toujours la cohérence entre vos limites et le sens de variation. Si $f$ tend vers $0$ en $+\infty$ en étant décroissante depuis $+\infty$, votre calcul est probablement juste !"
VI. Logarithme de base $a$ et Logarithme Décimal
1. Définition Générale
Soit $a$ un réel strictement positif et différent de 1 ($a > 0$ et $a \neq 1$). La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est définie sur $]0, +\infty[$ par :
Note : Si $a = e$, on retrouve la fonction $\ln$ car $\ln(e) = 1$.
2. Le Logarithme Décimal ($\log$)
C'est le cas où la base $a = 10$. On le note simplement $\log$ (sans indice).
3. Sens de Variation
- Si $a > 1$ : $\log_a$ est strictement croissante (ex: $\log_{10}$).
- Si $0 < a < 1$ : $\log_a$ est strictement décroissante.
🏆 L'Essentiel du Cours : Logarithmes (2BAC)
🧮 Règles de Calcul
- 🔹 $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$
- 🔹 $\ln(a/b) = \ln(a) - \ln(b)$
- 🔹 $\ln(a^n) = n\ln(a)$
- 🔹 $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
📈 Limites Clés
• $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$
• $\lim_{x \to 0^+} x^n\ln(x) = 0$
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$
⚖️ Étude et Signe
- ✅ Dérivée : $(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$
- ✅ Signe :
- Si $x \in ]0, 1[ \implies \ln(x) < 0$
- Si $x \in ]1, +\infty[ \implies \ln(x) > 0$ - ✅ Valeur : $\ln(1)=0$ ; $\ln(e)=1$
VII. Résolution d'Équations et Inéquations ($\ln$)
🔗 Connexion : Algèbre et Fonctions $\ln$ Expertise 2BAC
Pour réussir l'étude des fonctions logarithmes, il est impératif de mobiliser vos acquis des chapitres précédents. En effet, la résolution des équations complexes contenant du $\ln$ se ramène souvent à des structures algébriques que nous avons déjà détaillées.
⚙️ Utilisation du Discriminant $\Delta$
Lorsqu'on pose $X = \ln(x)$, l'équation devient du second degré. Maîtrisez-vous encore le calcul du discriminant ?
→ Revoir le cours des Équations🖇️ Systèmes d'Équations $\ln$
Certains problèmes du National demandent de résoudre des systèmes du type $\begin{cases} \ln x + \ln y = a \\ x + y = b \end{cases}$.
→ Réviser les méthodes des Systèmes🎓 Le Regard du Professeur Jamal : "En 18 ans d'enseignement, j'ai vu trop d'élèves de 2BAC échouer sur la fonction $\ln$ non pas à cause du logarithme lui-même, mais à cause d'une mauvaise maîtrise des équations du second degré. Ne négligez jamais vos bases, elles sont votre meilleur allié pour le National !"
La résolution des équations contenant du $\ln$ repose sur une règle d'or : La détermination du domaine de validité avant tout calcul.
📝 Application 1 : Équation avec changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0$.
🔍 Voir la méthode du discriminant $\Delta$
2. Changement de variable : Posons $X = \ln x$.
L'équation devient : $X^2 - 3X + 2 = 0$.
3. Résolution : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$.
$X_1 = 1$ et $X_2 = 2$.
4. Retour à $x$ :
$\ln x = 1 \implies x = e^1 = e$.
$\ln x = 2 \implies x = e^2$.
Solution finale : $S = \{e ; e^2\}$.
📝 Application 2 : Inéquation et Signe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ln(2x - 4) \leq 0$.
🔍 Voir la résolution par encadrement
2. Résolution : $\ln(2x - 4) \leq \ln(1)$.
$2x - 4 \leq 1 \implies 2x \leq 5 \implies x \leq 2,5$.
3. Intersection : On cherche $x \in ]2, +\infty[$ tel que $x \leq 2,5$.
Solution finale : $S = ]2 ; 2,5]$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \ln(x^2 + 1)$.
1. Justifier que $D_f = \mathbb{R}$.
2. Étudier la parité de $f$. En déduire la symétrie de $C_f$.
3. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations complet.
4. Représenter graphiquement la courbe $C_f$.
🔑 Voir la Solution de l'Expert (Rigueur 2BAC)
On a $\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0 \implies x^2 + 1 \geq 1$.
Puisque $x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors $D_f = \mathbb{R}$.
2. Parité :
$D_f = \mathbb{R}$ est symétrique par rapport à 0.
$f(-x) = \ln((-x)^2 + 1) = \ln(x^2 + 1) = f(x)$.
⇒ $f$ est PAIRE. $C_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.
3. Dérivation et Variations :
$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} = \mathbf{\frac{2x}{x^2 + 1}}$.
Le signe de $f'(x)$ est celui de $2x$.
- Sur $]-\infty, 0]$ : $f'(x) \leq 0 \implies f$ est décroissante.
- Sur $[0, +\infty[$ : $f'(x) \geq 0 \implies f$ est croissante.
Le minimum est $f(0) = \ln(1) = 0$.
📈 Représentation de $C_f$ (Allure de la courbe)
🏆 Problème de Synthèse (Type Bac 2026)
Conçu par Prof. AltiMath (Expertise 18 ans)
Énoncé :
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = x - 2 - \ln(x)$
3. Représentation Graphique $(C_f)$
💡 Cas Particulier : Croissance Comparée en Image
Analyse de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ - Expertise 18 ans
Étudions la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$ définie par : $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
1. Limites et Asymptotes
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \color{#ff8c00}{0}$ (D'après la croissance comparée).
Interprétation : Asymptote verticale $x=0$ et horizontale $y=0$.
2. Variations et Maximum
$f'(x) = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff \color{#ff8c00}{x = e}$.
Maximum : $f(e) = \frac{\ln(e)}{e} = \frac{1}{e} \approx 0,37$.
📉 Représentation Graphique de $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$
👁️ L'œil de l'Expert (18 ans d'expérience)
"Observez comment la courbe monte jusqu'à $x = e$ puis redescend très lentement vers l'axe des abscisses. C'est l'illustration parfaite du fait que $x$ 'écrase' $\ln(x)$ à l'infini !"
🧩 Le défi de l'IPP avec la fonction ln
Saviez-vous que la fonction $\ln$ nécessite presque toujours une intégration par parties ? Maîtrisez cette technique indispensable pour le jour de l'examen : Calcul Intégral : Méthodes et Astuces.
