Préparez-vous efficacement avec cette Série d'exercices corrigés sur la fonction Logarithme Népérien (ln), regroupant les meilleurs extraits des Examens Nationaux (2BAC PC, SVT et SM). Cette sélection rigoureuse vous permettra de vous entraîner sur des questions types : étude de fonctions, calcul de limites, dérivation, et utilisation des théorèmes des valeurs intermédiaires. Chaque exercice est accompagné d'une solution détaillée pour vous aider à maîtriser la rédaction et à décrocher la meilleure note au Baccalauréat avec AltiMath.
I. Introduction et Vision Globale sur la Fonction $\ln$
La Fonction Logarithme Népérien ($\ln$) n'est pas seulement un chapitre de mathématiques en 2BAC PC/SVT, c'est l'outil universel pour transformer des structures multiplicatives complexes en modèles additifs simplifiés. Elle constitue, avec sa fonction réciproque l'exponentielle, le cœur de l'Analyse Mathématique au lycée et représente souvent plus de 50% de la note globale lors de l'Examen National.
🔍 Perspectives et Mots-Clés Stratégiques :
- Analyse et Étude de Fonction : Maîtrise des Limites Usuelles, du Tableau de Variations et des Branches Infinies.
- Outils de Calcul : Utilisation des Propriétés Algébriques pour simplifier des expressions et résoudre des Équations et Inéquations.
- Passerelles Physiques : Modélisation du temps de charge RC, de la décroissance radioactive et calcul du pH en chimie.
🧪 Le Logarithme : Un outil au-delà des Mathématiques
Le logarithme est le langage de la nature pour gérer les grandes échelles.
1. Échelle de Richter : En géologie, l'énergie des séismes est mesurée sur une échelle logarithmique. Une augmentation de 1 point sur l'échelle correspond à une énergie 30 fois supérieure.
2. Acoustique et Décibels : L'oreille humaine perçoit le son de manière logarithmique. Le niveau sonore en décibels ($dB$) utilise le logarithme pour comprimer la vaste plage de pressions acoustiques que nous pouvons entendre.
En intégrant ces concepts, l'élève de 2BAC comprend que les mathématiques sur altimath.com sont la clé de voûte de toutes les sciences expérimentales.
🔍 Interprétation Géométrique et Branches Infinies
L'étude des limites de la fonction $\ln$ ne se limite pas au calcul algébrique ; elle définit l'allure de la courbe $C_f$ dans le repère.
A. Asymptote Verticale : Puisque $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe. Cela signifie que la courbe s'approche indéfiniment de l'axe sans jamais le toucher.
B. Branche Parabolique : En $+\infty$, nous avons $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. Cependant, en calculant la limite du rapport $\frac{\ln(x)}{x}$, nous trouvons 0. Ce résultat crucial indique que la courbe $C_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses $(Ox)$.
Note de l'Expert : Cette croissance est qualifiée de "lente". Pour que $\ln(x)$ atteigne la valeur 10, $x$ doit dépasser 22 000 ! C'est cette lenteur qui caractérise le logarithme par rapport aux fonctions puissances.
Pour aborder cette série d'exercices avec succès, voici un rappel des propriétés fondamentales traitées dans notre cours complet sur les logarithmes :
📍 Domaine et Valeurs
- ✅ Condition : $x > 0$ (Toujours !)
- ✅ Valeurs : $\ln(1)=0$ \quad ; \quad $\ln(e)=1$
- ✅ Signe : $\ln(x)<0 et="" sur="">0$ sur $]1,+\infty[$
1. Propriétés Algébriques
-
$\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\ln(a / b) = \ln(a) - \ln(b)$
$\ln(a^n) = n\ln(a)$ $\quad ; \quad$ $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)$
2. Limites Usuelles (F.I)
-
• $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ (Croissance comparée)
• $\lim_{x \to 0^+} x^n\ln(x) = 0$
• $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$
3. Dérivation
$\ln'(x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)$
$(\ln|u|)' = \frac{u'}{u}$
$\implies$ $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^*_+$.
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x^2 - 1 + \ln(x)$.
1. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.
2. Calculer $f(1)$, puis en déduire le signe de $f(x)$ sur $]0, +\infty[$.
3. Application : En utilisant le signe de $f$, étudier la position relative de la courbe $C_{\ln}$ par rapport à la parabole $y = 1 - x^2$.
🔑 Voir la Démonstration de l'Expert
Puisque $x > 0$, alors $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est strictement croissante.
2. Signe : $f(1) = 1^2 - 1 + \ln(1) = 0$.
- Si $x \in ]0, 1]$, $f(x) \leq f(1) = 0$.
- Si $x \in [1, +\infty[$, $f(x) \geq f(1) = 0$.
🏆 Problème de Synthèse (Type Examen National)
Étude d'une fonction logarithme avec branches infinies et position relative
Partie 1 : Fonction auxiliaire $g$
Soit $g$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = x^2 - 1 + 2\ln(x)$.
1. Calculer $g'(x)$ et montrer que $g$ est strictement croissante.
2. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$ sur $]0, +\infty[$.
Partie 2 : Étude de la fonction $f$
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = x - 1 - \frac{\ln(x)}{x^2}$.
1. Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et interpréter graphiquement.
2. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et montrer que la droite $(\Delta) : y = x - 1$ est une asymptote oblique.
3. Montrer que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^3}$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
🔑 Voir la Correction Détaillée (Rigueur du National)
Partie 2 :
- $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ car $\frac{\ln x}{x^2} \to -\infty$. Asymptote verticale $x=0$.
- $f(x) - (x-1) = -\frac{\ln x}{x^2}$. Or $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^2} = 0$ (Croissance comparée). Donc $y=x-1$ est une asymptote oblique.
📈 Représentation Graphique $C_f$ et Asymptote $(\Delta)$
📚 Étude d'une Fonction Logarithmique Composée
Type Examen National - Expertise 18 ans
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \ln(x^2 + 1)$
1. Déterminer $D_f$ et étudier la parité.
• Parité : $f(-x) = \ln((-x)^2+1) = \ln(x^2+1) = f(x)$.
Conclusion : $f$ est Paire (Symétrie / axe des ordonnées).
2. Calculer les limites et Branches Infinies.
• Branche : $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x^2+1)}{x} = 0$ (Croissance comparée).
Conclusion : Branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
3. Dérivée et Variations.
Le signe de $f'(x)$ est celui de $2x$ :
- $f$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$.
- $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$.
Minimum : $f(0) = \ln(1) = 0$.
📉 Représentation Graphique $(C_f)$
🚀 Problème d'Excellence : Logarithme et Fonctions Mixtes
Focus : $D_f$, Continuité et Asymptotes - Expertise 18 ans
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = x + \ln(x^2 - 1)$
1. Déterminer $D_f$ et les limites aux bornes.
$\implies \color{#ff8c00}{D_f = ]-\infty ; -1[ \cup ]1 ; +\infty[}$.
• Limites :
- $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + (-\infty) = \color{#ff8c00}{-\infty}$ (Asymptote $x=1$).
- $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty + \infty = \color{#ff8c00}{+\infty}$.
2. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations sur $]1 ; +\infty[$.
Sur $]1 ; +\infty[$, le dénominateur est positif et $x^2+2x-1 > 0$ (car $x>1$).
Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $]1 ; +\infty[$.
3. Étudier la branche infinie en $+\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) - x = \lim_{x \to +\infty} \ln(x^2-1) = +\infty$.
Conclusion : Branche parabolique de direction la droite $y=x$.
📉 Représentation du comportement de $f(x)$
👁️ L'œil de l'Expert (18 ans d'expérience)
Dans ce type de fonctions mixtes, faites attention à la domination. À l'infini, la partie linéaire '$x$' tire la courbe vers le haut, mais le terme '$\ln(x^2-1)$' fait que la courbe s'écarte de la droite $y=x$ sans jamais avoir d'asymptote oblique. C'est la subtilité des branches paraboliques que les correcteurs adorent tester !
Soit $f$ la fonction définie sur $I = [1, e]$ par : $f(x) = \sqrt{\ln(x)}$.
1. Étudier la monotonie de $f$ sur $I$.
2. Montrer que $f(I) \subset I$.
3. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.
a) Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N} : 1 \leq u_n \leq e$.
b) Étudier la convergence de la suite $(u_n)$.
🔑 Voir les Pistes de Résolution
2. Image de I : $f(1)=0$ (hors I) - Note : Le domaine doit être ajusté pour $f(I) \subset I$ (Exemple type National).
3. Convergence : La suite est bornée et monotone, elle converge vers $L$ tel que $f(L)=L$.
📈 Interprétation de la Suite (Escalier)
📚 Étude d'une Fonction avec Asymptote Oblique
Modèle Examen National (2BAC) - Expertise 18 ans
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = x - \frac{1}{2} + \frac{\ln(x)}{x}$
1. Calculer les limites et justifier l'asymptote verticale.
Interprétation : La droite $x=0$ est une asymptote verticale à $(C_f)$.
2. Montrer que $(\Delta) : y = x - \frac{1}{2}$ est une asymptote oblique.
Conclusion : La droite $(\Delta)$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$.
3. Calculer $f'(x)$ et étudier le signe.
On admet que $x^2 + 1 > \ln(x)$ sur $]0, +\infty[$, donc $\color{#ff8c00}{f'(x) > 0}$.
Conclusion : $f$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
📉 Représentation Graphique avec Asymptote Oblique
📚 Étude d'une Fonction avec Racine et Logarithme
Modèle Examen National (2BAC) - Expertise 18 ans
Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = x - \sqrt{x} \ln(x)$
1. Calculer les limites en $0^+$ et $+\infty$.
• En $+\infty$ : $f(x) = x(1 - \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}})$. Puisque $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} = 0$, alors $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \color{#ff8c00}{+\infty}$.
2. Étudier la branche infinie en $+\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) - x = \lim_{x \to +\infty} -\sqrt{x}\ln(x) = -\infty$.
Conclusion : Branche parabolique de direction la droite $y = x$.
3. Calculer $f'(x)$ et vérifier qu'elle s'annule en 1.
On remarque que $f'(1) = \frac{2(1)-0-2}{2} = 0$.
Interprétation : La courbe $(C_f)$ admet une tangente horizontale au point $A(1, 1)$.
👁️ L'œil de l'Expert (18 ans d'expérience)
Dans ce type d'étude, la croissance comparée avec $\sqrt{x}$ est la clé. N'oubliez pas que $\sqrt{x}$ est une puissance ($x^{1/2}$), donc elle 'écrase' toujours le $\ln(x)$ au voisinage de $+\infty$. Lors du tracé, assurez-vous que la courbe suit la direction de la droite $y=x$ tout en restant en dessous à cause du terme négatif.
📏 Étude de la Position Relative
Pour étudier la position relative de la courbe $(C_f)$ par rapport à la droite $(\Delta) : y = x$, on étudie le signe de la différence $f(x) - x$ sur $]0 ; +\infty[$ :
| $x$ | $0$ | $1$ | $+\infty$ |
| $f(x) - x$ | || | $+$ (Positif) | $-$ (Négatif) |
| Position | || | $(C_f)$ est Au-dessus | $(C_f)$ est En-dessous |
📉 Courbe de Référence : $f(x) = x - \sqrt{x}\ln(x)$
👨🏫 Détails Techniques de l'Expert :
• Origine : La courbe part de $(0,0)$ avec une demi-tangente verticale (non tracée ici).
• Position Relative : Entre $0$ et $1$, $C_f$ est au-dessus de la droite $y=x$.
• Intersection : En $x=1$, la courbe traverse la droite et admet un maximum local ($f'(1)=0$).
👨🏫 L'œil de l'Expert (Position Relative)
N'oubliez pas que le point $A(1,1)$ est le point d'intersection entre la courbe et la droite $(\Delta)$.
Astuce : Le changement de position en $x=1$ explique pourquoi la courbe traverse la droite. Lors du tracé, assurez-vous que votre courbe 'glisse' sous la droite $y=x$ pour les grandes valeurs de $x$ à cause du terme $-\sqrt{x}\ln(x)$ qui devient très grand en valeur absolue.
⚠️ Stratégie pour le National : Comment gagner des points sur le ln ?
Dans l'épreuve de mathématiques du Baccalauréat, la fonction $\ln$ représente souvent le cœur du problème de synthèse (10 à 11 points). Voici les 3 points de vigilance pour ne pas perdre de points bêtement :
1. La Justification de la Continuité : Avant de calculer une limite ou d'utiliser le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires), précisez toujours que la fonction est continue sur son intervalle.
2. Le Domaine de Validité : Dans les équations type $\ln(A) = \ln(B)$, n'oubliez pas que les conditions $A > 0$ et $B > 0$ sont notées sur 0.25 ou 0.5 point.
3. La précision du Graphe : Ne tracez pas votre courbe $C_f$ au hasard. Marquez clairement les points d'intersection avec les axes et respectez les asymptotes. Un graphe propre, c'est l'assurance d'une correction bienveillante.
📈 Position Relative et Points d'Inflexion
L'étude graphique d'une fonction $\ln$ ne s'arrête pas aux variations. Deux concepts sont cruciaux pour un tracé précis du $C_f$ :
1. Position Relative (Position par rapport à une droite) :
Pour savoir si la courbe $C_f$ est au-dessus ou en-dessous d'une asymptote $(\Delta) : y = ax + b$, on étudie le signe de la différence $f(x) - (ax + b)$.
• Si $f(x) - y > 0 \implies C_f$ est au-dessus de $(\Delta)$.
• Si $f(x) - y < 0 \implies C_f$ est en-dessous de $(\Delta)$.
2. Point d'Inflexion et Concavité :
Un point d'inflexion est l'endroit où la courbe change de direction (de concave à convexe). Mathématiquement, cela se produit lorsque la dérivée seconde $f''(x)$ s'annule en changeant de signe. Pour la fonction $\ln(x)$ simple, $f''(x) = -1/x^2 < 0$, la courbe est donc toujours concave (tournée vers le bas).
📐 Dérivation de $\ln|u(x)|$ : Le cas général
Une erreur fréquente au Baccalauréat concerne les fonctions définies avec une valeur absolue. Il est fondamental de maîtriser la règle suivante :
Si $u$ est une fonction dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, alors la fonction $f(x) = \ln|u(x)|$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est :
✨ Prêt pour le Succès au National !
Félicitations ! Vous avez terminé cette série intensive sur la Fonction ln. En maîtrisant ces exercices de niveau Base à Expert, vous avez franchi une étape majeure vers l'excellence académique.
