Le cours des Probabilités (2BAC) est une composante essentielle de l'Analyse au lycée pour les filières PC, SVT et SM. Dans ce guide exhaustif sur AltiMath, nous maîtrisons les outils du dénombrement (Arrangements, Combinaisons), la probabilité conditionnelle et l'indépendance des événements. Apprenez à construire une arbre de probabilités efficace et à dominer la loi binomiale grâce à nos explications d'expert (18 ans d'expérience) et nos exercices corrigés type Examen National.
🎯 Objectifs du Chapitre :
- Structurer vos connaissances en dénombrement (P-listes, Arrangements, Combinaisons).
- Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide de l'arbre de probabilité.
- Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et calculer son espérance.
📌 Plan détaillé du cours
2. Interdisciplinarité (Relations avec d'autres matières)
- Physique Radioactivité : Utilisation de la loi exponentielle pour calculer la probabilité de désintégration d'un noyau.
- SVT Génétique des populations : Application des lois de probabilités pour prévoir la transmission des caractères héréditaires.
- Économie Gestion des risques : Modélisation des incertitudes financières via l'espérance mathématique.
👨🏫 Orientation Pédagogique (Note ministérielle)
L'objectif majeur est de passer d'un calcul mécanique du dénombrement à une véritable compréhension de la modélisation. Le candidat doit être capable de choisir l'outil adéquat (Combinaison, Arrangement) selon le contexte de l'expérience.
Calcul des Probabilités
Cours détaillé avec démonstrations et applications pratiques $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
I. Outils de Dénombrement ( Arrangements, Combinaisons )
Le dénombrement est l'art de compter sans énumérer. Pour choisir l'outil adéquat ($n^p, A_n^p, C_n^p$), posez-vous toujours deux questions : L'ordre compte-t-il ? et La répétition est-elle permise ?
1. Les $p$-listes (L'Ordre + La Répétition)
On utilise les p-listes lorsqu'on tire $p$ éléments parmi $n$ avec remise . Ici, l'ordre est primordial et un élément peut être choisi plusieurs fois.
Exemple : Former un code de 4 chiffres (0 à 9). Résultat = $10^4 = 10000$.
2. Les Arrangements $A_n^p$ (L'Ordre + SANS Répétition)
Un arrangement est un tirage de $p$ éléments parmi $n$ sans remise. L'ordre est important .
Exemple Cas particulier : Si $p = n$, on parle de Permutation ($n!$).
3. Les Combinaisons $C_n^p$ (SANS Ordre + SANS Répétition)
Une combinaison est un tirage de $p$ éléments parmi $n$ simultanément . L'ordre n'a aucune importance (L'ordre ne compte pas).
Propriété utile : $C_n^p = C_n^{n-p}$ (Très pratique pour les calculs rapides).
📢 Remarque (Astuce pour l'examen) : Si on tire des boules simultanément, on oublie l'ordre. Si le tirage est successif, l'ordre de sortie des couleurs devient crucial pour le calcul !
1. Applications Pratiques (Dénombrement)
Situation : Une urne contient 10 boules : 6 blanches et 4 rouges. On tire 3 boules de l'urne.
Cas 1 : Tirage Simultané
Combien de résultats possibles y a-t-il ?
Cas 2 : Tirage successif sans remise
Combien de résultats possibles y a-t-il ?
Cas 3 : Tirage successif avec remise
Combien de résultats possibles y a-t-il ?
2. Cas Particuliers & Analyse (Dénombrement)
📍 Cas 1 : Tirage Simultané (Combinaisons)
Une urne contient 10 boules (6 rouges et 4 vertes). On tire simultanément 3 boules de l'urne.
Q : Combien de résultats possibles y a-t-il ?
📍 Cas 2 : Tirage Simultané (Combinaisons)
Un groupe est composé de 5 hommes et 4 femmes. On veut former un comité de 3 personnes.
Q : Combien de comités peut-on former ?
📍 Cas 1 : Successif sans remise (Arrangements)
On veut former un bureau composé d'un Président et d'un Secrétaire à partir d'un groupe de 8 personnes.
Q : Combien de bureaux différents peut-on former ?
📍 Cas 2 : Successif sans remise (Arrangements)
On veut former un code de 4 chiffres en utilisant les chiffres de 1 à 6.
Q : Combien de codes peut-on former si les répétitions sont autorisées ?
📍 Cas 1 : Tirage avec remise (p-listes)
Un code de cadenas est composé de 4 chiffres (chaque chiffre allant de 0 à 9).
Q : Combien de codes possibles existe-t-il ?
📍 Cas 1 : Tirage avec remise (p-listes)
Une urne contient 7 boules noires et 3 boules rouges. On tire 2 boules simultanément.
Q : Combien de manières de tirer exactement 2 boules noires ?
II. Expérience Aléatoire et Vocabulaire
1. Définition de l'expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si elle dépend du hasard : on connaît tous les résultats possibles, mais on ne peut pas prévoir lequel va se produire.
Exemple : Lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire.
2. Le Vocabulaire de base
2. L'Univers ($\Omega$)
L'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé l'univers, noté généralement $\Omega$. Chaque résultat est une éventualité.
Exemple : Jeter un dé à 6 faces → $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
3. Les types d'événements
1. Événement Élémentaire
C'est un événement qui ne contient qu'une seule éventualité.
Exemple : Obtenir le chiffre "6" lors du jet d'un dé.
2. Événement Impossible ($\emptyset$)
C'est un événement qui ne peut jamais se réaliser. Sa probabilité est nulle.
Exemple : Obtenir le chiffre "8" avec un dé à 6 faces.
3. Événement Certain ($\Omega$)
C'est un événement qui se réalise systématiquement. Sa probabilité est égale à 1.
Exemple : Obtenir un chiffre inférieur à 7 avec un dé.
4. Événement Contraire ($\overline{A}$)
L'événement $\overline{A}$ contient toutes les éventualités de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
Loi : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
5. Événements Incompatibles
Deux événements $A$ et $B$ sont disjoints s'ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Loi : $A \cap B = \emptyset$.
3. EXEMPLE : Le Lancer de Dé à 6 faces
On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et on regarde le chiffre apparaissant sur la face supérieure.
1. Déterminer l'univers $\Omega$.
2. Donner les éventualités de l'événement $A$ : "Obtenir un nombre pair".
3. Donner l'événement contraire $\overline{A}$.
📢 Remarque (Le Conseil de l'Expert ) : N'oubliez pas que la somme des éventualités de A et Ā doit toujours redonner l'univers Ω complet !
On remarque que $A \cup \overline{A} = \Omega$ et $A \cap \overline{A} = \emptyset$. C'est une propriété fondamentale.
4. Cas particuliers d'événements
- Événement élémentaire : Contient une seule issue. Exemple : $E = \{ 6 \}$.
- Événement certain : Il se réalise toujours, c'est l'univers $\Omega$ lui-même.
- Événement impossible : Il ne contient aucune issue, noté $\emptyset$.
- Événements incompatibles : Deux événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps ($A \cap B = \emptyset$).
III. Probabilités sur un ensemble fini
Imaginons une expérience aléatoire dont l'univers est composé d'un nombre fini d'issues : $\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$. Définir une loi de probabilité revient à attribuer à chaque issue $e_i$ un "poids" ou une "chance" de se réaliser, noté $p_i = P(\{e_i\})$.
Les deux règles d'or :
- ✅ Positivité : Chaque probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 : $$0 \le p_i \le 1$$
- ✅ Totalité : La somme de toutes les probabilités des issues doit être exactement égale à 1 : $$\sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$$
2. Le cas particulier de l'équiprobabilité
C'est la situation où toutes les issues ont la même chance de se produire. Dans les exercices, on l'identifie grâce à des mots-clés comme : "dé équilibré", "boules indiscernables" au "toucher" ou "tirage au hasard".
📢 Remarque (Le Conseil de l'Expert ) : Vérifiez toujours que Card(A) ≤ Card(Ω)
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
3. Comment calculer la probabilité d'un événement ?
La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent.
• Les issues favorables sont : $\{2, 4, 6\}$.
• $\text{card}(A) = 3$ et $\text{card}(\Omega) = 6$.
• Donc : $P(A) = \frac{3}{6} = 0,5$.
4. Propriétés fondamentales
| Événement certain | $P(\Omega) = 1$ |
| Événement impossible | $P(\emptyset) = 0$ |
| Événement contraire | $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ |
| Union de deux événements | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ |
💡 Les 3 Règles d'Or de l'Expert (18 ans d'expérience) :
-
1
Somme des probabilités : Vérifiez toujours que la somme des probabilités de toutes les éventualités est égale à 1. Si ce n'est pas le cas, votre univers est mal défini.
-
2
L'événement contraire $\overline{A}$ : Utilisez-le systématiquement pour les questions du type "Au moins une..." ou "Au plus...". Cela réduit drastiquement les calculs.
-
3
Union $A \cup B$ : N'oubliez jamais de soustraire l'intersection $P(A \cap B)$. L'erreur classique est de l'oublier alors qu'elle n'est pas vide.
📍 Exemple d'application : Tirage au hasard
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 3 rouges, 5 vertes et 2 noires. On tire une boule au hasard.
Calculer la probabilité des événements suivants :
- $A$ : "La boule tirée est rouge"
- $B$ : "La boule tirée n'est pas noire"
📝 Exemple d'Application : Tirage de Boules
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher :
5 rouges et
3 vertes.
On tire simultanément 2 boules de l'urne.
1. Calculer le nombre de cas possibles : $card(\Omega)$.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : "Obtenir deux boules rouges".
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : "Obtenir deux boules de couleurs différentes".
🔢 Exemple 2 : Formation de Nombres
On considère l'ensemble des chiffres $E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. On forme un nombre de 3 chiffres distincts choisis parmi $E$.
1. Calculer le nombre total de cas possibles : $card(\Omega)$.
2. Calculer la probabilité de l'événement $A$ : "Le nombre formé se termine par le chiffre 5".
3. Calculer la probabilité de l'événement $B$ : "Le nombre formé est pair".
IV. Probabilité d'un événement et Équiprobabilité
1. Définition d'une loi de probabilité
Soit $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\}$ un univers fini. Définir une probabilité $P$ sur $\Omega$, c'est associer à chaque éventualité $\omega_i$ un nombre réel $p_i$ (sa probabilité) tel que :
- Positivité : $0 \le p_i \le 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$.
- Somme totale : $\sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.
2. Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement $A$ est égale à la somme des probabilités des issues qui le composent. Si $A = \{e_1, e_2, \dots, e_k\}$, alors :
3. Le cas de l'équiprobabilité
On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues de l'univers $\Omega$ ont la même probabilité d'apparaître. Si $\text{card}(\Omega) = n$, alors pour chaque issue $e_i$ : $P(\{e_i\}) = \frac{1}{n}$.
📢 Remarque (Le Conseil de l'Expert ) : Attention ! Cette formule n'est valable que si l'énoncé précise explicitement ou implicitement l'équiprobabilité (exemple : "dés non pipés", "tirage au hasard"). Ne l'utilisez jamais sans justification préalable !
Démonstration : Formule de l'Équiprobabilité
1. Calcul de la probabilité élémentaire $p$ :
D'après l'axiome des probabilités, la somme des probabilités de toutes les éventualités de $\Omega$ est égale à 1 :
$n \times p = 1 \implies \mathbf{p = \frac{1}{n} = \frac{1}{card(\Omega)}}$
2. Calcul de la probabilité d'un événement $A$ :
Soit $A$ un événement contenant $k$ éventualités ($card(A) = k$). Par définition :
$P(A) = k \times p = k \times \frac{1}{n}$
On en déduit la formule fondamentale :
💡 L'œil de l'Expert : Cette démonstration montre que l'équiprobabilité transforme un problème de probabilité en un simple problème de dénombrement.
V. Probabilité conditionnelle et Indépendance
1. Probabilité de A sachant B
La probabilité conditionnelle permet de réévaluer la probabilité d'un événement $A$ sachant qu'un événement $B$ (de probabilité non nulle) s'est déjà réalisé. On restreint alors l'univers $\Omega$ à l'ensemble $B$.
(Aussi notée $P(A|B)$)
2. Formule des probabilités totales
Si des événements $B_1, B_2, \dots, B_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$, alors pour tout événement $A$ :
3. Indépendance de deux événements
Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.
Cela équivaut à dire que $P_B(A) = P(A)$ (si $P(B) $ ≠ $0$).
4. L'Arbre Pondéré : Les 3 Règles d'Or
- Règle des nœuds : La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1.
- Règle des chemins : La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées.
- Probabilités Totales : $P(A) = P(B \cap A) + P(\overline{B} \cap A)$.
⚠️ Remarque (Attention de l'Expert ) : Ne confondez jamais événements indépendants ($P(A \cap B) = P(A)P(B)$) et événements incompatibles ($A \cap B = \emptyset \implies P(A \cap B) = 0$). Ce sont deux concepts totalement différents !
VI. Indépendance de deux événements
1. Notion d'indépendance
Dire que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants signifie intuitivement que la réalisation de l'un n'apporte aucune information sur la probabilité de réalisation de l'autre.
Définition formelle :
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
2. Caractérisation par la probabilité conditionnelle
Si $P(B) \neq 0$, alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
(Cela signifie que savoir que $B$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $A$).
Propriété fondamentale :
Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors :
- ✅ $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
- ✅ $A$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
- ✅ $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
Démonstration : Indépendance de $\bar{A}$ et $B$
Propriété : Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ sont également indépendants.
Preuve :
- 1. On sait que $B = (A \cap B) \cup (\bar{A} \cap B)$, et que ces deux événements sont incompatibles.
- 2. D'après l'additivité des probabilités :
$$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$$
- 3. On en déduit que : $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
- 4. Comme $A$ et $B$ sont indépendants, on a $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
- 5. En remplaçant, on obtient :
$$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A) \times P(B)$$
- 6. En factorisant par $P(B)$ :
$$P(\bar{A} \cap B) = P(B) \times (1 - P(A))$$
- 7. Or, $1 - P(A) = P(\bar{A})$, donc :
$$P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B)$$
Ce qui prouve que $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.
💡 Remarque (L'œil de l'Expert ) :
Dans les exercices de tirage, retiens bien ceci :
1. Tirage avec remise : Les événements sont Indépendants (on revient à l'état initial).
2. Tirage sans remise : Les événements sont Dépendants (le premier tirage modifie les chances du deuxième).
📝 Exercice d'Application : Tester l'indépendance
Énoncé : On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements suivants :
• $A$ : "Obtenir un nombre pair" : $A = \{2, 4, 6\}$
• $B$ : "Obtenir un multiple de 3" : $B = \{3, 6\}$
Question : Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifiez par le calcul.
VII. Variable Aléatoire
1. Définition
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui à chaque issue d'un univers $\Omega$ associe un nombre réel.
L'ensemble des valeurs prises par $X$ est noté $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.
2. Loi de probabilité de $X$
Définir la loi de probabilité de $X$, c'est calculer pour chaque $x_i$ la probabilité de l'événement $\{X = x_i\}$.
| $x_i$ | $x_1$ | $x_2$ | $\dots$ | $x_n$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $p_1$ | $p_2$ | $\dots$ | $p_n$ |
Verification : $\sum p_i = 1$
Déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est :
- Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $X$, noté $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$.
- Calculer la probabilité de chaque événement $(X = x_i)$.
C'est la moyenne des valeurs sur le long terme.
Mesurent la dispersion des valeurs.
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
💡 Remarque (L'œil de l'Expert ) : L'espérance $E(X)$ représente le gain moyen si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. Si $E(X) = 0$, on dit que le jeu est équitable.
📝 Exercice d'Application
$X$ est la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées.
VIII. Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale
1. Quand utiliser la loi binomiale ?
Pour appliquer ce domaine, trois conditions strictes doivent être réunies :
- Dichotomie : Chaque épreuve n'a que deux issues (Succès $S$ ou Échec $\overline{S}$).
- Répétition : On répète l'expérience $n$ fois.
- Indépendance : Les probabilités ne changent pas d'une épreuve à l'autre (ex: tirage avec remise).
2. Épreuve de Bernoulli
C'est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues possibles :
- Succès ($S$) avec une probabilité $p$.
- Échec ($\overline{S}$) avec une probabilité $q = 1 - p$.
3. Comprendre la formule $P(X=k)$
La probabilité d'avoir exactement $k$ succès parmi $n$ épreuves est :
Où $k \in \{0, 1, 2, \dots, n\}$ et $C_n^k$ est le coefficient binomial (combinaison).
Il représente le nombre de chemins possibles pour placer $k$ succès dans une suite de $n$ expériences.
La probabilité du succès ($p$) élevée à la puissance du nombre de succès souhaités ($k$).
La probabilité de l'échec ($1-p$) élevée au nombre d'échecs restants ($n-k$).
🛠️ Exemple Pratique
• $n = 5$ (Nombre de lancers)
• $p = 1/6$ (Probabilité de succès)
Question : Probabilité d'avoir le chiffre 6 exactement 2 fois ?
💡 Remarque (L'œil de l'Expert ) : Dans les problèmes du National, dès que vous voyez 'On répète l'expérience $n$ fois' ou 'On tire successivement avec remise', pensez immédiatement à la Loi Binomiale. C'est un gain de temps énorme !
4. Pourquoi le $C_n^k$ ? (Démonstration)
Imaginons qu'on lance une pièce 3 fois ($n=3$) et on veut 2 Pile ($k=2$). Les chemins sont :
• (Pile, Pile, Face) $\to p \times p \times q = p^2 q^1$
• (Pile, Face, Pile) $\to p \times q \times p = p^2 q^1$
• (Face, Pile, Pile) $\to q \times p \times p = p^2 q^1$
Total : Il y a $3$ chemins identiques, d'où $C_3^2 = 3$.
| Paramètre | Formule | Signification |
|---|---|---|
| Espérance $E(X)$ | $n \times p$ | Nombre moyen de succès attendus. |
| Écart-type $\sigma(X)$ | $\sqrt{n p (1-p)}$ | Mesure de la dispersion (risque). |
💡 Conseil de Prof (ُExamen National) : Souvent au National, on vous demande $P(X \ge 1)$. Ne calculez pas tout ! Utilisez l'événement contraire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$.
💡 Remarque (Conseil d'expert ) :
Pour justifier l'utilisation de la loi binomiale, l'élève doit impérativement citer trois conditions :
1. Une épreuve à deux issues.
2. La répétition $n$ fois.
3. L'indépendance des épreuves (souvent assurée par un tirage avec remise).
Synthèse du cours
1. Fondamentaux
- Équiprobabilité : $$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$.
- Probabilités : $ 0 \le P(A) \le 1$ et $P(\Omega) = 1 $.
- Complémentarité : $$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$.
2. Conditionnement
- Conditionnelle : $$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$.
- Indépendance : $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$.
- Probabilités totales : Utilisation de l'arbre pondéré.
3. Variables Aléatoires
- Loi de probabilité : Tableau des $P(X=x_i)$.
- Loi Binomiale : $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$.
- Espérance : $$E(X) = n \times p$$ (pour la loi binomiale).
3. Loi Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$
Utilisée pour $n$ répétitions indépendantes à deux issues :
Les probabilités ne sont pas seulement des formules, c'est l'art de quantifier l'incertitude. Maîtrisez ces bases, et vous maîtriserez l'examen.
— Votre professeur AltiMath
