Dans le cadre de l'accompagnement des élèves d'élite de la branche Sciences Mathématiques (A et B), nous mettons à disposition la correction rigoureuse et exhaustive de l'Examen National de Mathématiques - Session Ordinaire 2026. Cette épreuve, réputée pour son exigence, évalue la profondeur des raisonnements logiques, la maîtrise des structures algébriques et l'analyse fine des fonctions numériques conformément aux normes ministérielles marocaines.
Compétences Évaluées selon le Cadre Référentiel (NS 24F)
Conformément au cadre référentiel officiel de la filière Sciences Mathématiques, l'épreuve s'articule autour de domaines fondamentaux visant à valider l'excellence académique :
🧬 Structures Algébriques & Arithmétique
Étude des lois de composition interne, des structures de groupes, anneaux et corps, couplée aux théorèmes fondamentaux de l'arithmétique (Gauss, Bézout, Fermat) et de l'algèbre linéaire (matrices et espaces vectoriels).
📈 Analyse Fonctionnelle & Intégration
Étude approfondie des fonctions numériques complexes (logarithmes, exponentielles, prolongement par continuité), calcul intégral (sommes de Riemann, équations différentielles) et convergence des suites numériques liées.
🧩 Nombres Complexes & Probabilités
Résolution géométrique des transformations planes par les complexes, structures algébriques associées, et modélisation probabiliste par les variables aléatoires discrètes et les lois binomiales.
L'architecture de cette épreuve nationale se compose de quatre exercices indépendants, conçus pour tester la rigueur de la démonstration formelle et l'esprit d'analyse synthétique des candidats de la filière Sciences Mathématiques sur une durée réglementaire de 4 heures.
Analyse Fonctionnelle & Calcul Intégral
Représentant la moitié du barème officiel, ce bloc majeur est dédié à l'étude approfondie de fonctions numériques complexes, l'analyse de convergences de suites et la maîtrise de l'intégration par parties et des limites asymptotiques.
Nombres Complexes & Géométrie du Plan
Ce volet évalue l'habileté algébrique à travers la résolution d'équations complexes du second degré, l'interprétation géométrique des transformations planes (rotations, homothéties) et la manipulation des formes trigonométriques.
Arithmétique & Calcul des Probabilités
Un exercice hybride qui teste l'application rigoureuse des théorèmes de l'arithmétique modulaire combinée à des calculs de dénombrement probabiliste et l'étude de variables aléatoires discrètes.
Structures Algébriques
Centré sur l'algèbre linéaire, ce module exige la validation formelle des propriétés de lois de composition interne, de structures de groupes, d'anneaux ou de corps appliquées aux espaces matriciels.
* Note officielle : L'usage d'une calculatrice non programmable est autorisé. L'utilisation de la couleur rouge est strictement interdite sur les copies d'examen.
Plan du Corrigé :
Solutions Officielles et Rituels de Correction (Session Ordinaire 2026)Examen National du Baccalauréat 2026
Session Ordinaire — Option Français — Baccalauréat 2026
EXERCICE 1 : Analyse Fonctionnelle (10 Points)
Partie I : Inégalités fondamentales, Intégration et Limites
Outils Mathématiques & Théorèmes Clés
Synthèse des concepts structurants et des théorèmes rituels mobilisés dans l'épreuve.Mobilisé de manière cruciale dans la Question 7-b pour encadrer le taux de variation de la suite numérique. L'Inégalité des Accroissements Finis (IAF) permet de passer de la géométrie de la courbe à la dynamique de convergence d'une suite en exploitant la majoration de la dérivée : $|f(u_n) - f(\alpha)| \leq k|u_n - \alpha|$.
Appliqué dans la Question 6-a sur la fonction de transition $\phi(x) = f(x) - x$. Ce théorème est l'outil universel en Sciences Maths pour garantir l'existence et l'unicité d'une solution (point fixe $\alpha$) en vérifiant l'isomorphisme de la stricte monotonie sur un intervalle continu.
Utilisé à deux reprises (notamment pour calculer l'expression exacte de $I(x)$ et $J(x)$ dans les Questions 2-b (Partie I) et 4-b (Partie II)). L'IPP transforme le produit de fonctions sous le signe intégral grâce à la formule standard $\int u v' = [uv] - \int u'v$, outil incontournable pour lever les indéterminations des formes exponentielles complexes.
Exploité dans les calculs de limites aux limites de l'ensemble de définition, spécifiquement pour déduire la limite asymptotique de $g(x)$ quand $x \to 0^+$ (Question 3-b, Partie I) et la limite de la fonction intégrale $F(x)$ en $+\infty$ (Question 1-b, Partie III) .
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $[0, +\infty[$ par : $\forall x \in ]0, +\infty[ \;, \; f(x) = \frac{x}{e^x - e^{-x}}$ et $f(0) = \frac{1}{2}$.
Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
(On admet que le point $P(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion pour la courbe $(\mathcal{C})$ avec $x_0 \approx 1,6$ et $f(x_0) \approx 0,3$). (0,5 pt)
7) On considère la suite numérique $(u_n)_{n \geq 0}$ définie par : $u_0 = 0$ et $(\forall n \in \mathbb{N})\;, \; u_{n+1} = f(u_n)$.
(On admet que $\forall x \in ]0, +\infty[\;, \; -\frac{1}{2} < f'(x) < 0$) (0,5 pt)
Pièges Classiques & Conseils d'Experts
Anticiper les pièges du correcteur et adopter les rituels de rédaction des majors.-
🚨 Piège n°1 : L'oubli des conditions de l'ordre d'intégration : Intégrer une inégalité fonctionnelle (comme $1+t \leq e^t$) sans spécifier explicitement le signe des bornes. Si l'intervalle n'est pas orienté positivement ($x \geq 0$), le sens de l'inégalité s'inverse, ce qui invalide le calcul de la question 1-b.
💡 Le Conseil de l'Expert : Justifiez toujours l'ordre des bornes avant d'appliquer l'intégrale : "Puisque $x \in [0, +\infty[$, alors $x \geq 0$. L'intégration préserve donc le sens de l'inégalité." Cette mention est rigoureusement exigée dans les barèmes officiels. -
🚨 Piège n°2 : Erreur de dérivation de la fonction intégrale composée : Dériver la fonction $F(x) = \int_{x}^{2x} f(t) dt$ en écrivant de manière erronée $F'(x) = f(2x) - f(x)$ en oubliant d'appliquer la dérivée de la fonction interne $(2x)' = 2$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Utilisez la formule formelle de dérivation par les primitives $F(x) = H(2x) - H(x)$ où $H'=f$. Par dérivation composée, on obtient : $F'(x) = 2H'(2x) - H'(x) = 2f(2x) - f(x)$. N'omettez jamais le coefficient 2. -
🚨 Piège n°3 : L'absence de la stricte monotonie pour l'unicité du TVI : Utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour montrer que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ sans valider la **stricte** monotonie de la fonction auxiliaire $\phi(x)=f(x)-x$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Prouvez d'abord que $\phi$ est continue et strictement décroissante (somme de deux fonctions strictement décroissantes). Une monotonie large ne garantit jamais l'unicité de la racine, et vous fera perdre 0,25 pt bêtement. -
🚨 Piège n°4 : Oubli des éléments de symétrie pour la courbe réciproque $(\mathcal{C}')$ : Dessiner la courbe de $f^{-1}$ à main levée sans tracer la première bissectrice $y=x$, ce qui conduit à un défaut de symétrie axiale flagrant immédiatement sanctionné par le correcteur.
💡 Le Conseil de l'Expert : Tracez d'abord la droite $y=x$ en pointillés fins. Projetez ensuite de manière orthogonale les points remarquables de $(\mathcal{C})$ (comme l'origine, le point d'inflexion $P$ et la demi-tangente) à distance égale de l'autre côté de la droite pour obtenir une courbe $(\mathcal{C}')$ géométriquement parfaite.
EXERCICE 2 : Nombres Complexes (3.5 Points)
Partie I : Résolution Algébrique d'Équations du Second Degré
Outils Mathématiques & Théorèmes Clés
Synthèse des concepts structurants et des propriétés rituelles mobilisés dans l'Exercice 2.Utilisée de manière stratégique dans la Partie I (Question 1). Pour déduire $z_2$ à partir de $z_1$, l'outil le plus rapide est la relation de la somme des racines : $z_1 + z_2 = -\frac{B}{A}$. Cela évite le calcul lourd du discriminant complexe $\Delta$ et sécurise les points du barème officiel.
Mobilisée dans la Partie II (Question 1) pour la rotation $\mathcal{R}\left(O, \frac{\pi}{2}\right)$. La formule rituelle $z' - z_\Omega = e^{i\alpha}(z - z_\Omega)$ se simplifie en $z' = iz$. Le passage par la forme exponentielle permet de valider instantanément que $i \cdot z_1 = z_2$.
Appliquée pour démontrer l'orthogonalité $(MM_1) \perp (OM_1)$ via le calcul du rapport d'affixes $\frac{z_1-m}{z_1-0}$. Prouver que ce rapport est un imaginaire pur ($i\mathbb{R}$) équivaut géométriquement à un angle droit. Le calcul du module $|z_1|=1$ établit quant à lui les distances rituelles pour la nature du carré.
Exploitée dans les dernières questions pour lier la partie réelle nulle ($\operatorname{Re}(z)=0$) à l'orthogonalité des hauteurs d'un triangle (détermination de l'orthocentre $H$). L'alignement final des points $H, M_1, M_2$ est validé par la nullité de la partie imaginaire du rapport, montrant que $\frac{h-z_1}{z_2-z_1} \in \mathbb{R}$.
Soit le nombre complexe $m = \sqrt{2}e^{i\theta}$ où $\theta \in \mathbb{R} - \{k\pi / k \in \mathbb{Z}\}$.
On considère dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E_m)$ d'inconnue $z$ :
$(E_m) \quad : \quad \overline{m}z^2 - 2z + m = 0$
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, on considère les points $A, B, M, M_1$ et $M_2$ d'affixes respectives $a=1, b=-1, m, z_1$ et $z_2$.
Soit $\mathcal{R}$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
3) Soit $H$ le point d'affixe $h = \frac{-i}{\sqrt{2}\sin(\theta)} e^{i(2\theta)}$.
Pour tout nombre complexe $z$, on désigne par $\operatorname{Re}(z)$ la partie réelle de $z$.
Pièges Classiques & Conseils d'Experts
Anticiper les pièges du correcteur et adopter les rituels de rédaction des majors.-
🚨 Piège n°1 : La tentation du calcul brut du discriminant $\Delta$ : Essayer de résoudre l'équation $(E_m)$ à la question 1 en calculant $\Delta = 4 - 4m\overline{m}$ au lieu d'utiliser la relation directe de la somme des racines. Cela fait perdre un temps précieux et augmente le risque d'erreur de calcul.
💡 Le Conseil de l'Expert : Utilisez directement la relation de la somme des racines d'une équation du second degré : "On a $z_1 + z_2 = -\frac{B}{A} = \frac{2}{\overline{m}}$". C'est l'astuce la plus rapide et la seule valorisée par le barème officiel. -
🚨 Piège n°2 : Erreur de simplification du module conjugué : Ne pas faire le lien entre le produit complexe $m \cdot \overline{m}$ et le module au carré, ce qui bloque la transformation de la fraction $\frac{2}{\overline{m}}$ en $m$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Rappelez-vous que pour tout complexe, $m \cdot \overline{m} = |m|^2$. Comme $|m| = \sqrt{2}$, alors $m \cdot \overline{m} = (\sqrt{2})^2 = 2$. Vous pouvez ainsi écrire : $\frac{2}{\overline{m}} = \frac{m \cdot \overline{m}}{\overline{m}} = m$, ce qui débloque instantanément le calcul de $z_2$. -
🚨 Piège n°3 : La caractérisation incomplète de la nature du carré : Pour la nature du quadrilatère $OM_1MM_2$, se contenter de prouver que les côtés adjacents sont égaux ou que les diagonales sont perpendiculaires sans mentionner l'angle droit induit par la rotation. Un losange possède aussi ces propriétés !
💡 Le Conseil de l'Expert : Précisez impérativement l'angle droit fourni par la rotation $\mathcal{R}$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ : $OM_1 = OM_2 = 1$ et $\widehat{M_1OM_2} = \frac{\pi}{2}$. Un rectangle avec deux côtés adjacents égaux est un carré parfait. -
🚨 Piège n°4 : Confondre alignement et orthogonalité vectorielle : Ne pas lier l'annulation de la partie imaginaire ou réelle d'un rapport avec sa nature géométrique, ce qui bloque la démonstration de l'alignement des points $H$, $M_1$ et $M_2$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Énoncez clairement que $\operatorname{cotan}(\theta) \in \mathbb{R}$, ce qui implique que le rapport $\frac{h-z_1}{z_2-z_1}$ est un nombre entièrement réel . C'est le critère analytique fondamental pour affirmer la colinéarité et valider l'alignement des trois points.
EXERCICE 3 : Arithmétique & Probabilités (3 Points)
Partie I : Équations Diophantiennes et Arithmétique Modulaire
Outils Mathématiques & Théorèmes Clés
Synthèse des concepts structurants et des propriétés rituelles mobilisés dans l'Exercice 3.Mobilisé dans la Partie I-A pour résoudre l'équation $5u - 9v = 1$. L'existence d'une solution particulière est garantie par le théorème de Bézout ($\operatorname{pgcd}(5,9)=1$). L'utilisation rigoureuse du théorème de Gauss permet ensuite de dégager l'ensemble des solutions générales sous forme de familles d'entiers relatifs liés à un paramètre $k \in \mathbb{Z}$.
Appliqué de manière incontournable dans la Partie I-B (Question 1-a). Puisque $19$ est un nombre premier qui ne divise pas la solution $x$, la structure du groupe multiplicatif fini implique directement la congruence rituelle $x^{18} \equiv 1 \ [19]$, outil fondamental pour simplifier les grands exposants cycliques (comme $2026$).
Introduit dans la Partie II (Question 2) lors de la répétition de $n$ tirages indépendants avec remise. Le nombre de succès suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n\;; \;0,11)$. L'outil analytique de l'événement contraire permet d'écrire la probabilité d'obtenir au moins un succès sous la forme simplifiée $P(X \geq 1) = 1 - (0,89)^n$.
Exploité pour résoudre l'inéquation exponentielle $(0,89)^n < 0,05$. La stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $\mathbb{R}_+^*$ légitime son application aux deux membres, tandis que la propriété algébrique $\ln(a^n) = n\ln(a)$ permet d'isoler l'inconnue $n$ en tenant compte du signe négatif de $\ln(0,89)$.
Partie I :
A. On considère dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation suivante $(F) \quad : \quad 5u - 9v = 1$
B. On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation suivante $(E) \quad : \quad x^{2026} \equiv 5 \ [19]$
1- Soit $x$ une solution de l'équation $(E)$
Partie II :
On considère une urne contenant 100 boules numérotées de 1 à 100 indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard de cette urne.
On considère l'événement $V$ : « Le numéro de la boule tirée est solution de l'équation $(E)$ »
2- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On effectue $n$ tirages successifs avec remise de la boule dans l'urne.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité de "réalisation de l'événement $V$ au moins une fois", soit strictement supérieure à $0,95$ (0,25 pt)
Pièges Classiques & Conseils d'Experts
Anticiper les pièges du correcteur et adopter les rituels de rédaction des majors.-
🚨 Piège n°1 : L'oubli des conditions du théorème de Gauss : Énoncer directement la divisibilité à partir de l'égalité $5(u-2) = 9(v-1) \implies 9$ divise $(u-2)$, sans spécifier que $5$ et $9$ sont premiers entre eux. Le correcteur retire systématiquement les points pour défaut de rigueur.
💡 Le Conseil de l'Expert : Adoptez ce rituel d'écriture obligatoire : "Puisque $9$ divise $5(u-2)$ et comme $\operatorname{pgcd}(5,9)=1$, alors d'après le théorème de Gauss, $9$ divise $(u-2)$". Ne sautez jamais cette justification. -
🚨 Piège n°2 : Le signe négatif de ln(0,89) : Lors de la résolution de l'inéquation $n \cdot \ln(0,89) < \ln(0,05)$, diviser les deux membres par $\ln(0,89)$ sans inverser le sens de l'inégalité, ce qui fausse totalement la valeur minimale de $n$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Rappelez-vous que pour tout $x \in ]0, 1[$, $\ln(x) < 0$. Comme $0,89 < 1$, son logarithme est strictement négatif . Vous devez obligatoirement inverser le symbole : $n > \frac{\ln(0,05)}{\ln(0,89)}$. -
🚨 Piège n°3 : L'exclusion de la borne maximale (100): Pour la forme $x = 5 + 19k$, s'arrêter machinalement à $k=4$ ($x=81$) en pensant que $k=5$ dépasse l'univers. Cela conduit à compter 5 boules au lieu de 6, faisant rater la probabilité exacte $0,11$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Posez toujours $5+19k \leq 100 \implies 19k \leq 95 \implies k \leq 5$. Donc $k$ varie de 0 à 5, ce qui donne exactement 6 boules (incluant le numéro 100). -
🚨 Piège n°4 : Négliger la vérification de la réciproque : Considérer l'équation diophantienne résolue dès la découverte de la forme des couples, sans rédiger la réciproque linéaire qui confirme la validité de l'ensemble $\mathcal{S}$ dans $\mathbb{Z}^2$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Clôturez votre démonstration par la phrase rituelle : "Réciproquement, en remplaçant $u$ et $v$ par leurs expressions en fonction de $k \in \mathbb{Z}$, on vérifie que $5(2+9k) - 9(1+5k) = 1$, ce qui valide l'ensemble $\mathcal{S}$."
EXERCICE 4 : Structures Algébriques (3.5 Points)
PGroupes, Homomorphismes et Lois de Composition Interne Matricielles
Outils Mathématiques & Théorèmes Clés
Synthèse des concepts structurants et des propriétés rituelles mobilisés dans l'Exercice 4.Mobilisé dans la Question 1 pour valider la loi de composition interne (LCI). L'outil fondamental est le produit matriciel direct (ligne par colonne) combiné à la réduction polynomiale. L'apparition de l'identité remarquable $(x+y)^2$ est l'élément clé pour prouver que $E$ est stable pour la multiplication.
Appliqué dans la Question 2 via l'application $\varphi$. En démontrant que $\varphi(x+y) = \varphi(x) \times \varphi(y)$ et que $\varphi(\mathbb{R}) = E$, on utilise le théorème fondamental des homomorphismes pour déduire directement que $(E, \times)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $M(0)=I$, sans avoir à redémontrer l'associativité ou la symétrie de manière isolée.
Utilisé dans la Question 3-a pour établir la structure de $(\mathbb{R}^*, \times)$ vers $(E - \{I\}, T)$. L'introduction de l'application bijective $\psi(x) = M(\frac{x}{2})$ permet de transférer la structure de groupe abélien de $\mathbb{R}^*$ vers $E - \{I\}$ grâce à la relation $\psi(xy) = \psi(x) T \psi(y)$, identifiant l'élément neutre comme étant $M(\frac{1}{2})$.
Exploité dans les Questions 3-b et 4. La validation de la distributivité de $T$ par rapport à $\times$ assoit la structure de corps commutatif. De plus, la formule de récurrence $(M(x))^n = M(nx)$ combinée aux propriétés du groupe sert d'outil algébrique pour linéariser l'équation $X^3 - X^2 = M(3x-2x) = M(x)$, mettant en relief le critère d'appartenance à l'ensemble $E$.
On rappelle que $(M_3(\mathbb{R}), +, \times)$ est un anneau unitaire et non commutatif de zéro la matrice $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ et d'unité la matrice $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
On considère l'ensemble : $E = \left\{ M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x^2 & 1-x & x \\ x^2+2x & -x & x+1 \end{pmatrix} \;; \; x \in \mathbb{R} \right\}$.
2) On considère l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}$ vers $M_3(\mathbb{R})$ par : $(\forall x \in \mathbb{R}) \;; \; \varphi(x) = M(x)$.
3) On munit $E$ de la loi de composition interne $T$ définie par :
$\forall(x, y) \in \mathbb{R}^2 \;; \; M(x) T M(y) = M(2xy)$.
4) Soit $x \in \mathbb{R}$. On pose : $(M(x))^n = \underbrace{M(x) \times \dots \times M(x)}_{n \text{ fois}}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.
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🚨 Piège n°1 : Erreur de développement des coefficients matriciels : Se tromper dans le calcul du produit en cascade des polynômes à la question 1, ce qui empêche de faire apparaître la forme factorisée $(x+y)^2$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Procédez méthodiquement ligne par ligne au brouillon. Repérez l'identité remarquable $x^2+2xy+y^2$ pour la condenser immédiatement sous la forme $(x+y)^2$ afin de valider l'appartenance à l'ensemble $E$. -
🚨 Piège n°2 : Redémontrer les propriétés du groupe à la question 2-b : Perdre du temps à vérifier l'associativité, l'élément neutre et le symétrique pour $(E, \times)$ de manière isolée.
💡 Le Conseil de l'Expert : Utilisez le théorème de transfert de structure ! Puisque $\varphi$ est un homomorphisme surjectif de $(\mathbb{R},+)$ vers $E$, toutes les propriétés du groupe commutatif source sont transmises à l'image automatiquement. -
🚨 Piège n°3 : Le piège de l'élément neutre exclu pour la loi T : Confondre l'élément neutre de la loi multiplication classique ($I = M(0)$) avec celui de la nouvelle loi interne $T$.
💡 Le Conseil de l'Expert : L'élément neutre pour la loi $T$ se détermine en posant $M(x) T M(e) = M(x) \iff M(2xe) = M(x) \iff 2xe = x \iff e = \frac{1}{2}$. L'élément neutre est donc la matrice $M\left(\frac{1}{2}\right)$ et non $I$. -
🚨 Piège n°4 : Oubli de la distributivité pour la structure de Corps : Se contenter de citer les structures de groupes commutatifs de la multiplication et de la loi T, en oubliant de vérifier formellement la distributivité de la loi T par rapport à la loi produit.
💡 Le Conseil de l'Expert : C'est un oubli récurrent sanctionné au Bac. Développez toujours l'égalité distributive linéaire croisée $M(x) T (M(y) \times M(z))$ pour montrer qu'elle coïncide idéalement avec le membre distribué. -
🚨 Piège n°5 : Le piège du coefficient zéro dans l'équation matricielle 4-b : Se lancer immédiatement dans une identification complexe par système des variables ($3x-2x=x$) et poser $x=5$ ou $x=3$ sans examiner la condition globale d'appartenance à l'ensemble $E$.
💡 Le Conseil de l'Expert : Soyez extrêmement vigilants ! En Sciences Maths, une matrice ne peut être solution que si elle est d'abord élément de l'ensemble de référence. Le coefficient $0$ en haut à gauche brise instantanément la structure d'appartenance (qui exige la constante $1$), rendant l'ensemble des solutions vide ($\emptyset$) sans calculs inutiles.
