0

Limites et Continuité : Cours Complet, Théorèmes et Exercices Corrigés

Le chapitre Limites et Continuité est le socle de l'analyse mathématique en Terminale Bac (BIOF). Ce cours détaillé, conçu par un professeur expert, vous permettra de maîtriser les concepts de continuité en un point, de continuité à gauche et à droite, ainsi que l'étude de la continuité sur un intervalle.

Cours Limites et Continuité Terminale Bac BIOF AltiMath

🎯 Points clés abordés dans ce cours :

  • Levée des formes indéterminées (Factorisation, conjugué).
  • Application rigoureuse du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
  • Étude de la fonction réciproque et des racines n-ièmes.
  • Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.

Sur AltiMath, nous décortiquons les concepts les plus redoutables pour vous offrir une clarté totale. Ce cours traite avec rigueur les thématiques clés exigées par le cadre de référence de l'examen national :

✅ Continuité en un point et sur un intervalle.
✅ Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
✅ Étude de la Fonction Réciproque ($f^{-1}$).
✅ Détermination de l'Image d'un intervalle.
✅ Composition de fonctions et limites associées.
✅ Dichotomie et encadrement des racines.
LIM

Sommaire du Cours :

Guide de la Continuité et des Limites Numériques (2BAC BIOF)
Analyse Mathématique - 2BAC BIOF

Limites et Continuité

Le guide ultime pour maîtriser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et la Fonction Réciproque avec la rigueur pédagogique d'AltiMath.

Note de l'expert : Ce chapitre est la clé de voûte de tout votre programme d'analyse au Baccalauréat.

I. Rappels et Compléments sur les Limites

Avant d'aborder la continuité, il est primordial de maîtriser le calcul des limites. Voici les outils de base indispensables pour lever les formes indéterminées (F.I).

Limites usuelles à connaître

La maîtrise des limites de référence est le point de départ incontournable de tout calcul rigoureux en analyse mathématique :

  • 🔹 Fonctions Polynômes : En $+\infty$ et $-\infty$, la limite d'un polynôme est strictement égale à la limite de son terme de plus haut degré.
  • 🔹 Fonctions Rationnelles : En $\pm\infty$, la limite d'une fraction rationnelle est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré.
  • 🔹 Fonctions Trigonométriques : Voici les trois limites fondamentales à maîtriser sur le bout des doigts :
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $$
    $$ \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 $$
Fonction $f(x)$ $\lim_{x \to +\infty}$ $\lim_{x \to -\infty}$
$x^n$
(n pair)		 $+\infty$ $+\infty$
$x^n$
(n impair)		 $+\infty$ $-\infty$
$\frac{1}{x^n}$
($n \ge 1$)		 $0$ $0$
$\sqrt{x}$ $+\infty$ Non déf.

2. Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites suivent les règles algébriques classiques, sauf dans les cas d'indétermination. Voici la synthèse des résultats clés :

Opération Exemple Déterminé Forme Indéterminée
Somme $+\infty + L = +\infty$ $+\infty - \infty$
Produit $+\infty \times (-\infty) = -\infty$ $0 \times \infty$
Quotient
$\frac{L}{\infty} = 0$
$\frac{L}{0} = \infty$
$\frac{0}{0}$
$\frac{\infty}{\infty}$

⚠️ Les 4 Formes Indéterminées (F.I) :

"$\infty - \infty$" $0 \times \infty$ $\frac{0}{0}$ $\frac{\infty}{\infty}$

💡 Remarque (Note Méthodologique) : Au National, l'indétermination de type $0/0$ avec des racines carrées est très fréquente. Mon conseil : multipliez par le conjugué immédiatement, puis cherchez la simplification. La plupart du temps, le facteur qui pose problème est $(x - x_0)$.

3. Stratégies de levée (Forme Indéterminée)

Face à une forme indéterminée, voici les trois techniques doctrinales incontournables :

1. Factorisation : On factorise par le terme dominant (souvent $x$ ou $x^2$) pour simplifier l'expression et lever l'indétermination.
2. Quantité Conjuguée : Utilisée chirurgicalement pour éliminer les radicaux carrés complexes (ex: $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$).
3. Division Euclidienne : Indispensable pour simplifier la fraction fractionnaire $\frac{P(x)}{x-a}$ quand le polynôme s'annule en $P(a)=0$.

4. Limites et Ordre : Théorèmes de comparaison

Ces théorèmes sont utilisés lorsque le calcul direct de la limite est impossible (notamment avec les fonctions trigonométriques sinus et cosinus). Ils permettent de déduire une limite par encadrement.

Le Théorème des Gendarmes (Encadrement)

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies au voisinage de $x_0$ (où $x_0$ peut être un réel ou $\pm\infty$).

$$ \text{Si } g(x) \le f(x) \le h(x) $$
$$ \text{et } \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L $$
$$ \text{Alors : } \lim_{x \to x_0} f(x) = L $$

Note : La fonction $f$ est "coincée" entre deux expressions qui tendent vers la même limite $L$.

📌 Minoration ($\to +\infty$)

Si on a la condition analytique suivante :

$$ f(x) \geqslant g(x) $$
et
$$ \lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty $$

Alors : $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty $$

📌 Majoration ($\to -\infty$)

Si on a la condition analytique suivante :

$$ f(x) \leqslant h(x) $$
et
$$ \lim_{x \to x_0} h(x) = -\infty $$

Alors : $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty $$

💡 Remarque (L'avis de l'expert) : C'est l'outil ultime pour les fonctions contenant $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ à l'infini. Comme on ne connaît pas la limite de $\sin(x)$ en $+\infty$, on utilise toujours l'encadrement de base : $-1 \le \sin(x) \le 1$ pour construire l'encadrement de la fonction complète.

II. Continuité d'une fonction numérique

Après avoir maîtrisé le calcul des limites, nous abordons maintenant la notion de continuité. Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.

En mathématiques, cette notion de "parcours ininterrompu" est rigoureusement définie par la proximité entre la valeur de la fonction en un point $a$ et sa limite au voisinage de ce point. C'est cette propriété qui garantit la stabilité des phénomènes étudiés en sciences.

Dans cette section, nous allons explorer :

● La définition de la continuité en un point.
● L'étude locale (à gauche et à droite).
● Les règles de continuité sur un intervalle.

1. Continuité en un point : Définition par la limite.

Définition par la limite

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $x_0$. On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si :

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

Remarque : Pour que cette définition soit valide, trois conditions doivent être réunies simultanément :
1. $f$ doit être définie en $x_0$ (c'est-à-dire que $f(x_0)$ existe).
2. La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ doit exister et être finie.
3. Cette limite doit être égale à l'image $f(x_0)$.

Interprétation graphique

Graphiquement, la continuité de $f$ en $x_0$ signifie que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ ne présente aucune rupture (ni saut, ni point isolé) au point d'abscisse $x_0$.

💡 Remarque (L'expertise pédagogique) : Une erreur fréquente au Bac est d'oublier de vérifier si $x_0$ appartient au domaine de définition. Si la fonction n'est pas définie en $x_0$, on ne peut pas parler de continuité, mais éventuellement d'un prolongement par continuité.

📝 Exemple Type (Niveau National)

Étudions la continuité de $f$ en $a=2$ sachant que :

$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ pour $x $ ≠ $ 2$
$f(2) = 4$
👁️ Afficher la démonstration
1. On calcule la limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
2. On compare avec l'image : On a $f(2) = 4$.
3. Conclusion : Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, alors la fonction $f$ est continue en 2.

💡 Remarque (L'astuce de Prof) : Pour qu'une fonction soit continue en $a$, il faut d'abord qu'elle soit définie en $a$. Si $f(a)$ n'existe pas, on ne peut pas parler de continuité, mais éventuellement d'un prolongement par continuité

2. Continuité à gauche et à droite : Condition de continuité globale.

1. Définitions

À Droite de $x_0$

$f$ est continue à droite en $x_0$ si la limite à droite est égale à l'image :

$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$

À Gauche de $x_0$

$f$ est continue à gauche en $x_0$ si la limite à gauche est égale à l'image :

$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

🌟 Condition de Continuité Globale

Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si et seulement si elle est :
Continue à GAUCHE ET à DROITE de $a$

$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$

💡 Remarque (Note du Prof) : Lorsqu'une fonction est définie par deux expressions différentes autour de $a$, vérifiez toujours si les deux limites convergent vers la même valeur $f(a)$. Si elles diffèrent, même d'un rien, la fonction présente un 'saut' et n'est plus continue.

3. Continuité à gauche et à droite : Condition de continuité globale.

Continuité sur un intervalle et composée

Fonctions élémentaires (Propriétés admises)

Il est inutile de redémontrer la continuité des fonctions de base. Vous devez simplement citer leurs propriétés :

  • ✅ Fonctions Polynômes : Continues sur $\mathbb{R}$.
  • ✅ Fonctions Rationnelles : Continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition $D_f$.
  • ✅ Fonctions $\sin$ et $\cos$ : Continues sur $\mathbb{R}$.
  • ✅ Fonction $\sqrt{x}$ : Continue sur $[0, +\infty[$.

🌟 Continuité de la composée $g \circ f$

C'est une question fréquente au National. Pour prouver que $h(x) = g(f(x))$ est continue sur un intervalle $I$, il faut vérifier deux conditions :

Soient deux fonctions $f$ et $g$. Si :
1. $f$ est continue sur un intervalle $I$.
2. $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$.

Alors la fonction composée $g \circ f$ est continue sur $I$.

Opérations algébriques

Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors :

$f+g$ , $f \times g$ , $\lambda f$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) et $|f|$ sont continues sur $I$.
De même, $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ (si $g$ ne s'annule pas sur $I$).

📌 Cas particulier : $h(x) = \sqrt{f(x)}$

La fonction $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ si :
1. $f$ est continue sur $I$.
2. $f$ est positive sur $I$ ($f(x) \ge 0$).

💡 Remarque (L'expertise Pédagogique) : Dans les sujets du National, on vous demande souvent d'étudier la continuité de fonctions du type $\sqrt{f(x)}$ ou $\sin(f(x))$.
Ne dites pas simplement "elle est continue". Précisez : "Comme $f$ est continue sur $I$ et que la fonction racine est continue sur $[0, +\infty[$ avec $f(I) \subset [0, +\infty[$, alors...". C'est cette rigueur qui fait la différence entre 18/20 et 20/20.

III. Image d'un intervalle par une fonction continue

1. Propriété générale

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle de même nature ou différent selon le comportement des bornes.

💡 Règle d'or : La continuité préserve la "connexité" (absence de saut géométrique), mais c'est l'étude chirurgicale de la monotonie détermine l'ordre exact des bornes de l'intervalle image.

2. Cas d'un intervalle fermé (Segment $[a\;; \; b]$)

L'image d'un segment $[a\;; \; b]$ par une fonction continue est un segment $[m\;; \; M]$ où :
• $m$ est le minimum absolu de $f$ sur $[a\;; \; b]$.
• $M$ est le maximum absolu de $f$ sur $[a\;; \; b]$.

Si $f$ est continue sur $[a\;; \; b]$, alors $\quad f([a\;; \; b]) = [m\;; \; M]$

3. Tableau récapitulatif : Images des Intervalles

Voici la synthèse doctrinale démontrant comment l'intervalle image permute selon le sens de la monotonie :

Intervalle $I = [a\;; \; b]$
Si $f$ est Croissante ↗ : $\quad [f(a)\;; \; f(b)]$
Si $f$ est Décroissante ↘ : $\quad [f(b)\;; \; f(a)]$
Intervalle $I = [a\;; \; b[$
Si $f$ est Croissante ↗ : $\quad [f(a)\;; \; \lim_{x \to b^-} f(x)[$
Si $f$ est Décroissante ↘ : $\quad ]\lim_{x \to b^-} f(x)\;; \; f(a)]$
Intervalle $I = ]a\;; \; b]$
Si $f$ est Croissante ↗ : $\quad ]\lim_{x \to a^+} f(x)\;; \; f(b)]$
Si $f$ est Décroissante ↘ : $\quad [f(b)\;; \; \lim_{x \to a^+} f(x)[$
Intervalle $I = ]a\;; \; b[$
Si $f$ est Croissante ↗ : $\quad ]\lim_{x \to a^+} f(x)\;; \; \lim_{x \to b^-} f(x)[$
Si $f$ est Décroissante ↘ : $\quad ]\lim_{x \to b^-} f(x)\;; \; \lim_{x \to a^+} f(x)[$

💡 Remarque (L'expertise Pédagogique) : Attention à l'ordre des bornes ! Quand la fonction est décroissante, on inverse les images (ou les limites). C'est l'erreur la plus fréquente au National. Vérifiez toujours la monotonie avant d'écrire votre intervalle image.

IV. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (souvent abrégé TVI) est un théorème fondamental qui permet de justifier l'existence d'au moins une solution à l'équation $f(x) = k$. C'est l'outil privilégié pour démontrer qu'une courbe coupe l'axe des abscisses ou une droite horizontale donnée.

L'esprit du théorème

Intuitivement, si une fonction est continue sur un intervalle, elle ne peut pas passer d'une valeur $f(a)$ à une valeur $f(b)$ sans passer par toutes les valeurs intermédiaires situées entre $f(a)$ et $f(b)$. C'est l'image de la continuité : la courbe "balaie" tout l'espace sans aucun saut.

Pourquoi ce théorème est-il crucial pour le National ?

🎯 Existence : Prouver qu'une équation $f(x) = k$ admet au moins une solution.
💎 Unicité : Utiliser la stricte monotonie pour prouver l'existence d'une solution unique.
📍 Localisation : Encadrer une solution (méthode de dichotomie).

Note : Le TVI est le pont entre la continuité et la résolution d'équations complexes.

💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Au Bac, ce théorème est presque toujours couplé à la stricte monotonie pour prouver l'unicité de la solution ($\alpha$). Ne confondez jamais l'existence (au moins une solution) et l'unicité (une seule solution). La rédaction de ces conditions est primordiale pour obtenir la note maximale

1. Énoncé du théorème (Existence de solutions)

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :

$f(c) = k$
1. Fonction Paire (Symétrie Axiale) L'axe des ordonnées $(Oy)$ fait office de miroir géométrique parfait.

Figure géométrique : Illustration du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) où l'équation $f(x)=k$ admet trois solutions sur $[a;b]$.

Démonstration :

Comme $f$ est continue sur $[a \ ; \ b]$, alors d'après le théorème des valeurs extrêmes, il existe deux nombres réels $M$ et $m$ tels que : $f([a \ ; \ b]) = [m \ ; \ M]$.

Comme $f(a)$ et $f(b)$ appartiennent à $[m \ ; \ M]$ (en supposant que $f(a) \leqslant f(b)$), donc on a l'inclusion suivante : $[f(a) \ ; \ f(b)] \subset [m \ ; \ M]$.

C'est-à-dire : $[f(a) \ ; \ f(b)] \subset f([a \ ; \ b])$

Donc pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $k \in f([a \ ; \ b])$), par définition de l'image d'un intervalle :

👉 Il existe au moins un réel $c$ de $[a \ ; \ b]$ tel que : $f(c) = k$

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Cette démonstration s'appuie directement sur la propriété fondamentale de l'image d'un intervalle par une fonction continue : l'image d'un intervalle est un intervalle ! C'est ce qui garantit qu'il n'y a pas de 'trou' dans les valeurs prises par la fonction entre $f(a)$ et $f(b)$. Retenez bien l'enchaînement de ces inclusions pour briller lors des questions de cours à l'examen !

💡 Interprétation Géométrique

Toute droite horizontale $y = k$ située entre les images $f(a)$ et $f(b)$ coupe la courbe $\mathcal{C}_f$ en au moins un point. Puisque la fonction est continue (tracée sans lever le crayon), elle doit forcément "passer" par toutes les valeurs intermédiaires.

📍 Cas particulier important (Existence de racines) :

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $\mathbf{f(a) \times f(b) < 0}$ (signes opposés), alors l'équation $\mathbf{f(x) = 0}$ admet au moins une solution $c \in ]a, b[$.

⚠️ Rappel de l'Expert : Ce théorème garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité. Pour prouver qu'il n'y a qu'une seule solution, nous aurons besoin de la condition de stricte monotonie.

2. Cas de la stricte monotonie : Unicité de la solution

Si l'on ajoute à la continuité la condition de stricte monotonie, la fonction ne se contente plus de traverser une valeur, elle le fait une seule fois. On parle alors de Bijection.

🌟 Théorème (Solution Unique)

Si une fonction $f$ est :
1. Continue sur un intervalle $[a, b]$.
2. Strictement monotone (soit toujours ↗, soit toujours ↘) sur $[a, b]$.

Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[a, b]$.

📝 Modèle de rédaction (Examen National) :

Pour montrer que $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[a, b]$, vérifiez :
1. Continuité : "$f$ est continue sur $[a, b]$".
2. Stricte Monotonie : "$f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur $[a, b]$".
3. Condition de signe : "$f(a) \times f(b) < 0$".
Conclusion : "D'après le TVI, l'équation admet une solution unique $\alpha \in ]a, b[$."

💡 Remarque (L'œil de l'Expert) : Le terme 'Bijection' signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent. C'est cette propriété qui nous permettra de définir la Fonction Réciproque dans la partie suivante. Maîtrisez bien ces trois conditions, elles valent des points précieux !

3. Méthode de dichotomie : Encadrement de $\alpha$

Lorsqu'on a prouvé qu'une équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $[a, b]$, la dichotomie permet de réduire l'amplitude de l'intervalle pour obtenir une valeur approchée de $\alpha$.

L'algorithme étape par étape :

  1. On calcule le milieu de l'intervalle : $m = \frac{a+b}{2}$.
  2. On calcule l'image de ce milieu : $f(m)$.
  3. On compare le signe de $f(m)$ avec celui de $f(a)$ :
    • Si $f(a) \times f(m) < 0$, alors $\alpha \in [a, m]$.
    • Si $f(a) \times f(m) > 0$, alors $\alpha \in [m, b]$.
  4. On recommence l'opération sur le nouvel intervalle jusqu'à obtenir la précision (amplitude) souhaitée.

Amplitude : Après $n$ étapes, l'amplitude de l'intervalle est réduite à : $\frac{b-a}{2^n}$.

💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Au Bac, on ne vous demandera pas de faire 50 étapes à la main ! Généralement, on vous demande un encadrement à $10^{-1}$ ou $10^{-2}$.
Astuce : Présentez toujours vos résultats sous forme de tableau ($a$, $b$, $m$, $f(m)$) pour montrer au correcteur que vous maîtrisez la méthode itérative. C'est le signe d'une grande rigueur.

4. Applications : TVI & Unicité (Entraînement au format National)

NIVEAU 1 Existence et Unicité

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\mathbf{f(x) = x^3 + x - 1}$.
Question : Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

👁️ Voir la rédaction type
1. Continuité : $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $[0, 1]$.
2. Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1$. Puisque $3x^2+1 > 0$ pour tout $x$, $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$.
3. Condition de signe : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$. On a $f(0) \times f(1) < 0$.
Conclusion : D'après le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.
NIVEAU 2 Encadrement par Dichotomie

On considère l'équation $f(x) = 0$ avec $\alpha \in [0, 1]$.
Question : Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,25$ en utilisant la méthode de dichotomie.

👁️ Voir les étapes de calcul
L'intervalle initial est $[0, 1]$ (amplitude 1).
• Étape 1 : Milieu $c = 0,5$.
$f(0,5) = (0,5)^3 + 0,5 - 1 = -0,375$.
Comme $f(0,5) < 0$ et $f(1) > 0$, alors $\alpha \in [0,5 ; 1]$ (amplitude 0,5).
• Étape 2 : Nouveau milieu $c' = \frac{0,5 + 1}{2} = 0,75$.
$f(0,75) = (0,75)^3 + 0,75 - 1 \approx 0,17$.
Comme $f(0,5) < 0$ et $f(0,75) > 0$, alors $\mathbf{0,5 < \alpha < 0,75}$ (amplitude 0,25).
NIVEAU 3 Encadrement par dichotomie

Énoncé : On sait que $h(x) = x^3 + x - 3 = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[1, 2]$.
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,5$.

👁️ Voir les étapes de calcul
- Milieu de $[1, 2]$ est $m = 1,5$.
- Calcul de $h(1,5) = (1,5)^3 + 1,5 - 3 = 3,375 + 1,5 - 3 = 1,875$.
- Comme $h(1) = -1$ (négatif) et $h(1,5) = 1,875$ (positif), alors $\alpha \in [1 ; 1,5]$.
L'amplitude est bien $1,5 - 1 = 0,5$.
NIVEAU 1 Existence de solution sur un intervalle

Énoncé : Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = x^3 + x - 1$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

👁️ Voir les étapes de calcul
1. Continuité : $f$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $\mathbb{R}$, et en particulier sur $[0, 1]$.
2. Calcul des images : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$.
3. Vérification du signe : Comme $f(0) \times f(1) < 0$ (car $-1 < 0 < 1$), d'après le TVI, il existe au moins un réel $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
NIVEAU 2 Unicité et Solution $\alpha$ (Standard National)

Énoncé : Soit $g(x) = x^2 + \sqrt{x} - 2$.
1. Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]1, 2[$.

👁️ Voir les étapes de calcul
1. Bijection : $g$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$ (somme de deux fonctions croissantes). Elle réalise donc une bijection vers $J = [g(0), \lim_{+\infty} g[ = [-2, +\infty[$.
2. Unicité : Comme $0 \in [-2, +\infty[$, l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
Calculons : $g(1) = 1+1-2 = 0$. Ici $\alpha = 1$. (Dans un cas général, on vérifie $g(1) \times g(2) < 0$).

💡 Remarque (L'avis du Prof) : Dans les examens nationaux, on ne vous demande pas seulement le résultat, mais la rédaction. N'oubliez jamais de citer : 1. La continuité, 2. La stricte monotonie, 3. Le changement de signe. C'est le trio gagnant pour vos points !

V. Fonction Réciproque et Racine n-ième

L'existence d'une fonction réciproque est une conséquence doctrinale directe de la bijection. Dans cette partie, nous allons définir les conditions de son existence et explorer ses propriétés géométriques, avant d'aborder une application majeure : la racine n-ième.

1. Théorème de la fonction réciproque

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Pour que $f$ admette une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle $J = f(I)$, il suffit :

✅ $f$ est continue sur $I$
✅ $f$ est strictement monotone sur $I$

2. Propriétés de $f^{-1}$

  • 📉 Sens de variation : $f^{-1}$ a rigoureusement le même sens de variation que $f$ sur l'intervalle $J$.
  • 🔗 Continuité : $f^{-1}$ est structurellement continue sur l'intervalle $J = f(I)$.
  • 🎨 Représentation graphique : Dans un repère orthonormé, la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ est le reflet symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la première bissectrice d'équation $(D) : y = x$.

3. La fonction racine n-ième ($\sqrt[n]{x}$)

La fonction $f(x) = x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0\;; \; +\infty[$. Elle admet donc une fonction réciproque appelée racine n-ième, notée $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

$$ \sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x $$
💡 Puissance rationnelle :
$$ x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p} $$

💡 Remarque (L'avis du Prof) : Au Baccalauréat nationale, on vous demande systématiquement de tracer $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ à partir de $\mathcal{C}_f$. L'astuce est de prendre quelques points clés de coordonnées $(x\;; \; y)$ de $\mathcal{C}_f$ et de placer immédiatement leurs symétriques $(y\;; \; x)$ pour obtenir le tracé de $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.
Aussi, attention maximale à la dérivabilité : la fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en un point $y_0=f(x_0)$ seulement si $f'(x_0)$ ≠ $0$. Un point doctrinal à ne jamais oublier !

4. Exercice : Représentation Graphique de $f^{-1}$

📝 Maîtriser la symétrie par rapport à la première bissectrice

✏️ Exercice d'application : Construction de $\mathcal{C}_{f^{-1}}$

Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur l'intervalle $I = [0\;; \; 2]$ telle que :
• $f(0) = -1$ et $f(2) = 3$.
• La courbe $\mathcal{C}_f$ passe par le point d'ancrage $A(1\;; \; 0)$.

Question : Tracer, dans le même repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, la courbe $\mathcal{C}_f$ (en bleu) et en déduire la construction géométrique de $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ (en rouge) par symétrie axiale.
👁️ Voir la correction et les points clés

Étapes de Résolution Géométrique :

  1. Tracé du miroir $\Delta$ : On dessine d'abord la première bissectrice d'équation $\Delta : y = x$.
  2. Inversion chirurgicale des coordonnées : On applique la règle du miroir $(x\;; \; y) \implies (y\;; \; x)$ :
    • Le point initial $(0\;; \; -1)$ de $\mathcal{C}_f$ devient le point initial $(-1\;; \; 0)$ pour $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.
    • Le point d'ancrage $A(1\;; \; 0)$ de $\mathcal{C}_f$ devient le point $A'(0\;; \; 1)$ pour $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.
    • Le point d'arrivée $(2\;; \; 3)$ de $\mathcal{C}_f$ devient le point d'arrivée $(3\;; \; 2)$ pour $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.
  3. Tracé de la courbe réciproque : On relie ces trois nouveaux points par une courbe lisse, strictement croissante, qui reflète parfaitement la courbe bleue.
Représentation Graphique de l'Exercice Visualisation des points miroirs inversés par rapport à la droite d'équation $y = x$.

💡 Remarque (Conseil pour le Bac) : N'oubliez jamais : si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale en $A$, alors $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admettra une tangente verticale au point symétrique $A'$. C'est ce détail qui fait souvent la différence dans la précision du tracé !

VI. Exercices d'Annales et Préparation au National

⚠️ Objectif 20/20 : Évitez les erreurs classiques

1. L'unicité dans le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires)

L'erreur fatale : Justifier l'existence d'une solution unique $\alpha$ sans mentionner explicitement la monotonie de la fonction.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath : Pour affirmer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$, vous devez impérativement citer trois conditions conjointes : Continuité + Stricte Monotonie + Changement de signe ($f(a) \times f(b) < 0$)

2. Ordre des bornes (Image d'un intervalle)

L'erreur fatale : Garder le même ordre des images $[f(a)\;; \; f(b)]$ quand la fonction est décroissante.
💡 La Correction : Si $f$ est strictement décroissante, l'ordre des bornes s'inverse obligatoirement : $f([a\;; \; b]) = [f(b)\;; \; f(a)]$. Pour les intervalles ouverts contenant des limites, la règle est strictement identique.

3. Continuité de la composée ($g \circ f$)

L'erreur fatale : Oublier de vérifier la continuité de la deuxième fonction $g$ sur l'intervalle image calculé $f(I)$.
💡 La Correction : Citez rigoureusement deux conditions d'ancrage : $f$ est continue sur $I$ ET $g$ est continue sur tout l'intervalle image $f(I)$.

4. Sens de variation de $f^{-1}$

L'erreur fatale : Penser à tort que la fonction réciproque $f^{-1}$ possède un sens de variation inversé ou opposé à $f$.
💡 La Correction : $f$ et $f^{-1}$ ont toujours le même sens de r傾تابة (Monotonie). Si $f$ croît sur $I$, alors $f^{-1}$ croît de manière identique sur $J = f(I)$.

5. La limite vs l'image au point de rupture

L'erreur fatale : Utiliser directement la valeur de la limite sans vérifier au préalable si la fonction est bien définie au point d'étude $x_0$.
💡 Le Conseil : La continuité exige la concordance exacte : $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Si $f(x_0)$ n'existe pas mais que la limite est finie, on procède alors à un prolongement par continuité.

💡 Le Conseil Rédactionnel Final : Ne notez jamais les formes indéterminées (ex: "0/0" ou "$\frac{\infty}{\infty}$") avec un signe d'égalité brute (=) sur votre copie d'examen national. Ce sont des écritures de brouillon interdites. Présentez directement votre méthode de purification algébrique (conjugaison, factorisation) pour préserver une copie professionnelle d'élite.

EXERCICE 1 Continuité en un point et Conjugaison

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $\ f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ \ pour $x $ ≠ $0$ \ et $\ f(0) = \dfrac{1}{2}$.

Question : Montrer mathématiquement que $f$ est continue au point $x_0 = 0$.

👁️ Voir la solution détaillée
• On calcule la limite en zéro : $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$.
• En injectant la quantité conjuguée pour lever l'indétermination :
$$ = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) - 1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} $$ $$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $$
• On constate de manière exacte que : $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = \frac{1}{2}$.
Conclusion légitime : La fonction $f$ est rigoureusement continue en $x_0 = 0$.
EXERCICE 2 Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $I = [0\;; \; 1]$ par : $\ g(x) = x^3 + x - 1$.

Question : Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0\;; \; 1]$.

👁️ Voir la solution détaillée
• Condition 1 (Continuité) : $g$ est une fonction polynôme, donc elle est continue sur $[0\;; \; 1]$.
• Condition 2 (Monotonie) : Le calcul de la dérivée donne $g'(x) = 3x^2 + 1 > 0$. La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0\;; \; 1]$.
• Condition 3 (Signe) : Calculons les images des bornes : $g(0) = -1$ (négatif) et $g(1) = 1$ (positif). Le produit donne $g(0) \times g(1) < 0$.
Conclusion finale : D'après le TVI, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\;; \; 1]$.
EXERCICE TYPE BAC Focus : TVI et Unicité

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $\ f(x) = x^3 + x - 1$.
1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ dans $]0\;; \; 1[$.
2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.25$ par la méthode de dichotomie.

[ Cliquer pour voir les étapes de rédaction ]
• Continuité : $f$ est une fonction polynôme donc parfaitement continue sur l'intervalle $[0\;; \; 1]$.
• Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \implies f$ est strictement monotone (croissante) sur $[0\;; \; 1]$.
• Signe aux bornes : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, le produit vérifie : $f(0) \times f(1) < 0$.
• Conclusion : D'après le corollaire du TVI, la solution $\alpha$ existe et est unique sur $]0\;; \; 1[$.

Le conseil d'AltiMath : Au Baccalauréat, la forme rédactionnelle compte autant que le fond. Une structure chirurgicale (Continuité $\to$ Monotonie $\to$ Signe) garantit la totalité des points au correcteur.

💡 L'œil de l'Expert AltiMath :
Pour l'examen national, la précision de la rédaction est primordiale. N'oubliez jamais de citer explicitement les trois conditions du TVI (Continuité, Stricte Monotonie et le Changement de signe aux extrémités) avant de statuer sur l'existence exclusive de $\alpha$. C'est ce rituel rigoureux qui valide l'intégralité de la note sur votre copie !

🎯 Ce que vous devez savoir faire à l'Examen :

  • 🔹 Justifier sans faille la continuité d'une fonction composée sur un intervalle discret.
  • 🔹 Appliquer le théorème TVI (Existence et Unicité) pour encadrer et localiser $\alpha$.
  • 🔹 Démontrer algébriquement qu'une fonction admet une fonction réciproque $f^{-1}$.
  • 🔹 Construire avec précision la courbe de $f^{-1}$ par symétrie axiale orthogonale ($y=x$).

🎓 Examen National Blanc (Analyse)

Session de Préparation Intensive AltiMath : 2BAC

On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $I = [0\;; \; +\infty[$ par l'expression suivante : $f(x) = x^3 + 2x - 1$

Partie I : Étude de la continuité et TVI

  1. Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.
  2. Calculer la limite aux limites de $I$ : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
  3. Étudie la monotonie de $f$ sur $I$, puis dresse le tableau de variations complet.
  4. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle ouvert $]0\;; \; 1[$.
  5. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.5$ par la méthode de dichotomie.
👁️ Correction de la Partie I
1. Continuité : $f$ est une fonction polynôme, elle est donc continue sur $\mathbb{R}$, en particulier sur $[0\;; \; +\infty[$.
2. Limites : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$.
3. Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ pour tout $x \in I$. La fonction $f$ est donc strictement croissante.
4. TVI : $f$ est continue et strictement croissante sur $[0\;; \; 1]$. On a $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$. Comme $f(0) \times f(1) < 0$, alors d'après le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0\;; \; 1[$.
5. Dichotomie : $f(0.5) = (0.5)^3 + 2(0.5) - 1 = 0.125 + 1 - 1 = 0.125$. Comme $f(0)=-1$ (négatif) et $f(0.5) > 0$, alors l'encadrement final est : $0 < \alpha < 0.5$.

Partie II : Fonction Réciproque

  1. Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
  2. Calculer $f(1)$, puis en déduire de manière exacte la valeur de $(f^{-1})'(2)$.
  3. Dresser proprement le tableau de variations complet de $f^{-1}$ sur l'intervalle $J$.
👁️ Correction de la Partie II
1. Existence de $f^{-1}$ : Puisque $f$ est continue et strictement croissante sur $I = [0\;; \; +\infty[$, elle admet une bijection réciproque $f^{-1}$ définie sur l'intervalle : $J = f(I) = [f(0)\;; \; \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \ = [-1\;; \; +\infty[$.
2. Calcul du nombre dérivé : On a $f(1) = 1^3 + 2(1) - 1 = 2 \implies f^{-1}(2) = 1$.
En appliquant la formule officielle de la dérivée de la réciproque :
$$ (f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{f'(1)} $$ $$ \text{Or } f'(x) = 3x^2 + 2 \implies f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5 \implies (f^{-1})'(2) = \frac{1}{5} $$
3. Tableau de variations de $f^{-1}$ : La fonction réciproque conserve rigoureusement la monotonie de $f$. Elle est donc strictement croissante sur $J = [-1\;; \; +\infty[$ depuis la valeur $0$ jusqu'à $+\infty$.
Examen National Blanc - Mathématiques

Niveau : 2BAC BIOF (Sciences Maths / PC / SVT)

⏱️ Durée : 3h 📊 Coefficient : 7 / 9
🔹 Exercice 1 : Suites Numériques (3 pts)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=2$ et $\ u_{n+1} = \dfrac{1}{5}u_n + \dfrac{4}{5} \quad \forall n \in \mathbb{N}$.

  1. Montrer par récurrence que $u_n > 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. Montrer que $(u_n)$ est strictement décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
  3. On pose $v_n = u_n - 1$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$.
  4. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer la limite : $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
🔹 Exercice 2 : Nombres Complexes (3 pts)
  1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ l'équation du second degré : $\ z^2 - 6z + 13 = 0$.
  2. Soient $A, B$ et $C$ trois points du plan complexe d'affixes respectives :
    $\ a=3+2i \quad , \quad b=3-2i \quad \text{et} \quad c=1+2i$.
    • a) Placer proprement les points dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé.
    • b) Calculer le rapport algébrique $\dfrac{c-a}{b-a}$ puis en déduire la nature géométrique du triangle $ABC$.
🔹 Exercice 3 : Calcul des Probabilités (3 pts)

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires. On tire simultanément et au hasard 2 boules de l'urne.

  1. Calculer la probabilité de l'événement : "tirer deux boules de même couleur".
  2. Soit $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges tirées.
    Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer son espérance mathématique $E(X)$.
🔥 Problème : Étude de Fonctions & Intégration (11 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$ f(x) = (x-1)e^x $$
  1. Calculer aux limites du domaine : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ \ et \ $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
  2. Étudier en détail les branches infinies de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
  3. Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
  4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[0\;; \; 1]$.
  5. Calculer l'intégrale exacte : $\ I = \int_{0}^{1} (x-1)e^x \, dx \ $ (on utilisera une intégration par parties).

📥 Ressources PDF : Limites et Continuité

Téléchargez nos banques d'exercices d'élite classées par niveaux de progression.

🟢 Niveau 1 : Base

Série 1 : Calcul direct de limites, levée des formes indéterminées simples ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$) et étude rituelle de continuité en un point.

Télécharger (PDF)

🟠 Niveau 2 : Avancé

Série 2 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), continuité sur un intervalle complet, fonction réciproque et étude des racines $n$-ièmes.

Télécharger (PDF)

🔴 Examen National

Annales Corrigées : Extraits officiels de l'examen national triés sur le volet avec étude de la continuité, branches infinies et asymptotes géométriques.

Télécharger (PDF)
"Chaque document contient des exercices rigoureusement sélectionnés par Prof. Jamal (18 ans d'expertise) pour vous garantir une préparation optimale à l'Examen National."

You may like these posts

Commentaires
    Prof. Jamal

    Prof. Jamal Benachim

    Expert Pédagogique - 18 ans d'expérience

    Bienvenue sur AltiMath. En tant qu'enseignant spécialisé dans le cycle collégial et secondaire, je mets à votre disposition plus de 18 ans d'expertise pour simplifier les concepts d'Algèbre, Géométrie et Analyse. Mon objectif est de vous transmettre les compétences nécessaires pour exceller aux examens nationaux via une approche pédagogique moderne axée sur la compréhension profonde.

    "Les mathématiques sont une compréhension, pas seulement des chiffres."

    En savoir plus sur mon parcours