Le chapitre Limites et Continuité est le socle de l'analyse mathématique en Terminale Bac (BIOF). Ce cours détaillé, conçu par un professeur expert, vous permettra de maîtriser les concepts de continuité en un point, de continuité à gauche et à droite, ainsi que l'étude de la continuité sur un intervalle.
🎯 Points clés abordés dans ce cours :
- Levée des formes indéterminées (Factorisation, conjugué).
- Application rigoureuse du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI).
- Étude de la fonction réciproque et des racines n-ièmes.
- Image d'un intervalle par une fonction continue et monotone.
Sur AltiMath, nous décortiquons les concepts les plus redoutables pour vous offrir une clarté totale. Ce cours traite avec rigueur les thématiques clés exigées par le cadre de référence de l'examen national :
L'analyse mathématique est un édifice cohérent. Pour maîtriser les Limites et la Continuité, il est essentiel de faire le pont avec ces notions déjà abordées sur AltiMath :
Sommaire du Cours :
Guide de la Continuité et des Limites Numériques (2BAC BIOF)Limites et Continuité
Le guide ultime pour maîtriser le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) et la Fonction Réciproque avec la rigueur pédagogique d'AltiMath.
Note de l'expert : Ce chapitre est la clé de voûte de tout votre programme d'analyse au Baccalauréat.
I. Rappels et Compléments sur les Limites
Avant d'aborder la continuité, il est primordial de maîtriser le calcul des limites. Voici les outils de base indispensables pour lever les formes indéterminées (F.I).
Limites usuelles à connaître
La maîtrise des limites de référence est le point de départ de tout calcul en analyse :
- Fonctions Polynômes : En $+\infty$ et $-\infty$, la limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
- Fonctions Rationnelles : En $\pm\infty$, la limite d'une fraction rationnelle est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré.
- Fonctions Trigonométriques : Voici les limites fondamentales à connaître par cœur :
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
| Fonction $f(x)$ | $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ | $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ |
|---|---|---|
| $x^n$ (n pair) |
$+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$ (n impair) |
$+\infty$ | $-\infty$ |
| $\frac{1}{x^n}$ ($n \ge 1$) |
$0$ | $0$ |
| $\sqrt{x}$ | $+\infty$ | Non déf. |
2. Opérations sur les limites
Les opérations suivent les règles algébriques classiques, sauf dans les cas d'indétermination. Voici les résultats clés :
| Opération | Exemple de résultat déterminé | Forme Indéterminée (F.I.) |
|---|---|---|
| Somme | $+\infty + L = +\infty$ | $+\infty - \infty$ |
| Produit | $+\infty \times (-\infty) = -\infty$ | $0 \times \infty$ |
| Quotient | $\frac{L}{\infty} = 0 \quad \mid \quad \frac{L}{0} = \infty$ | $\frac{0}{0} \quad \text{ou} \quad \frac{\infty}{\infty}$ |
⚠️ Les 4 Formes Indéterminées (F.I) :
💡 Remarque (Note Méthodologique) : Au National, l'indétermination de type $0/0$ avec des racines carrées est très fréquente. Mon conseil : multipliez par le conjugué immédiatement, puis cherchez la simplification. La plupart du temps, le facteur qui pose problème est $(x - x_0)$.
3. Stratégies de levée (Forme Indéterminée)
Face à une forme indéterminée, voici les trois techniques "Expert" :
4. Limites et Ordre : Théorèmes de comparaison
Ces théorèmes sont utilisés lorsque le calcul direct de la limite est impossible (notamment avec les fonctions sinus et cosinus). Ils permettent de "déduire" une limite par encadrement ou par majoration/minoration.
Le Théorème des Gendarmes (Encadrement)
Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies au voisinage de $x_0$ (où $x_0$ peut être un réel ou $\pm\infty$).
Note : La fonction $f$ est "coincée" entre deux fonctions qui tendent vers la même limite $L$.
📌 Minoration ($\to +\infty$)
Si on a la condition suivante :
Alors : $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$.
📌 Majoration ($\to -\infty$)
Si on a la condition suivante :
Alors : $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$.
💡 Remarque (L'avis de l'expert) : C'est l'outil ultime pour les fonctions contenant $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ à l'infini. Comme on ne connaît pas la limite de $\sin(x)$ en $+\infty$, on utilise toujours l'encadrement de base : $-1 \le \sin(x) \le 1$ pour construire l'encadrement de la fonction complète.
II. Continuité d'une fonction numérique
Après avoir maîtrisé le calcul des limites, nous abordons maintenant la notion de continuité. Intuitivement, une fonction est continue si l'on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon.
En mathématiques, cette notion de "parcours ininterrompu" est rigoureusement définie par la proximité entre la valeur de la fonction en un point $a$ et sa limite au voisinage de ce point. C'est cette propriété qui garantit la stabilité des phénomènes étudiés en sciences.
Dans cette section, nous allons explorer :
1. Continuité en un point : Définition par la limite.
Définition par la limite
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $x_0$. On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_0$ si et seulement si :
Remarque : Pour que cette définition soit valide, trois conditions doivent être réunies simultanément :
1. $f$ doit être définie en $x_0$ (c'est-à-dire que $f(x_0)$ existe).
2. La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ doit exister et être finie.
3. Cette limite doit être égale à l'image $f(x_0)$.
Interprétation graphique
Graphiquement, la continuité de $f$ en $x_0$ signifie que la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ ne présente aucune rupture (ni saut, ni point isolé) au point d'abscisse $x_0$.
💡 Remarque (L'expertise pédagogique) : Une erreur fréquente au Bac est d'oublier de vérifier si $x_0$ appartient au domaine de définition. Si la fonction n'est pas définie en $x_0$, on ne peut pas parler de continuité, mais éventuellement d'un prolongement par continuité.
📝 Exemple Type (Niveau National)
Étudions la continuité de $f$ en $a=2$ sachant que :
$f(2) = 4$
👁️ Afficher la démonstration
2. On compare avec l'image : On a $f(2) = 4$.
3. Conclusion : Puisque $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$, alors la fonction $f$ est continue en 2.
L'astuce de Prof. Jamal : Pour qu'une fonction soit continue en $a$, il faut d'abord qu'elle soit définie en $a$. Si $f(a)$ n'existe pas, on ne peut pas parler de continuité, mais éventuellement d'un prolongement par continuité.
2. Continuité à gauche et à droite : Condition de continuité globale.
1. Définitions
À Droite de $x_0$
$f$ est continue à droite en $x_0$ si la limite à droite est égale à l'image :
À Gauche de $x_0$
$f$ est continue à gauche en $x_0$ si la limite à gauche est égale à l'image :
🌟 Condition de Continuité Globale
Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si et seulement si elle est :
Continue à GAUCHE ET à DROITE de $a$
💡 Note du Prof. Jamal :
Lorsqu'une fonction est définie par deux expressions différentes autour de $a$, vérifiez toujours si les deux limites convergent vers la même valeur $f(a)$. Si elles diffèrent, même d'un rien, la fonction présente un 'saut' et n'est plus continue.
3. Continuité à gauche et à droite : Condition de continuité globale.
Continuité sur un intervalle et composée
Fonctions élémentaires (Propriétés admises)
Il est inutile de redémontrer la continuité des fonctions de base. Vous devez simplement citer leurs propriétés :
- ✅ Fonctions Polynômes : Continues sur $\mathbb{R}$.
- ✅ Fonctions Rationnelles : Continues sur chaque intervalle de leur domaine de définition $D_f$.
- ✅ Fonctions $\sin$ et $\cos$ : Continues sur $\mathbb{R}$.
- ✅ Fonction $\sqrt{x}$ : Continue sur $[0, +\infty[$.
🌟 Continuité de la composée $g \circ f$
C'est une question fréquente au National. Pour prouver que $h(x) = g(f(x))$ est continue sur un intervalle $I$, il faut vérifier deux conditions :
Soient deux fonctions $f$ et $g$. Si :
1. $f$ est continue sur un intervalle $I$.
2. $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$.
Opérations algébriques
Si $f$ et $g$ sont continues sur $I$, alors :
$f+g$ , $f \times g$ , $\lambda f$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) et $|f|$ sont continues sur $I$.
De même, $\frac{f}{g}$ est continue sur $I$ (si $g$ ne s'annule pas sur $I$).
La fonction $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ si :
1. $f$ est continue sur $I$.
2. $f$ est positive sur $I$ ($f(x) \ge 0$).
💡 Remarque (L'expertise Pédagogique) :
Dans les sujets du National, on vous demande souvent d'étudier la continuité de fonctions du type $\sqrt{f(x)}$ ou $\sin(f(x))$.
Ne dites pas simplement "elle est continue". Précisez : "Comme $f$ est continue sur $I$ et que la fonction racine est continue sur $[0, +\infty[$ avec $f(I) \subset [0, +\infty[$, alors...". C'est cette rigueur qui fait la différence entre 18/20 et 20/20.
III. Image d'un intervalle par une fonction continue
1. Propriété générale
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle de même nature ou différent selon les bornes.
Règle d'or : La continuité préserve la "connexité" (pas de saut), mais c'est la monotonie qui détermine l'ordre des bornes.
2. Cas d'un intervalle fermé (Segment $[a, b]$)
L'image d'un segment $[a, b]$ par une fonction continue est un segment $[m, M]$ où :
• $m$ est le minimum de $f$ sur $[a, b]$.
• $M$ est le maximum de $f$ sur $[a, b]$.
3. Tableau récapitulatif
Voici comment l'image change selon que la fonction est croissante ou décroissante :
Tableau récapitutatif : Image d'un intervalle $I$ par $f$
| Intervalle $I$ | Si $f$ est Croissante ↗️ | Si $f$ est Décroissante ↘️ |
|---|---|---|
| $[a, b]$ | $[f(a), f(b)]$ | $[f(b), f(a)]$ |
| $[a, b[$ | $[f(a), \lim_{b^-} f[$ | $\left]\lim_{b^-} f, f(a)\right]$ |
| $]a, b]$ | $\left]\lim_{a^+} f, f(b)\right]$ | $[f(b), \lim_{a^+} f[$ |
| $]a, b[$ | $\left]\lim_{a^+} f, \lim_{b^-} f\right[$ | $\left]\lim_{b^-} f, \lim_{a^+} f\right[$ |
💡 Remarque (L'expertise Pédagogique) : Attention à l'ordre des bornes ! Quand la fonction est décroissante, on inverse les images (ou les limites). C'est l'erreur la plus fréquente au National. Vérifiez toujours la monotonie avant d'écrire votre intervalle image.
IV. Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)
Le Théorème des Valeurs Intermédiaires (souvent abrégé TVI) est un théorème fondamental qui permet de justifier l'existence d'au moins une solution à l'équation $f(x) = k$. C'est l'outil privilégié pour démontrer qu'une courbe coupe l'axe des abscisses ou une droite horizontale donnée.
L'esprit du théorème
Intuitivement, si une fonction est continue sur un intervalle, elle ne peut pas passer d'une valeur $f(a)$ à une valeur $f(b)$ sans passer par toutes les valeurs intermédiaires situées entre $f(a)$ et $f(b)$. C'est l'image de la continuité : la courbe "balaie" tout l'espace sans aucun saut.
Pourquoi ce théorème est-il crucial pour le National ?
Note : Le TVI est le pont entre la continuité et la résolution d'équations complexes.
💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Au Bac, ce théorème est presque toujours couplé à la stricte monotonie pour prouver l'unicité de la solution ($\alpha$). Ne confondez jamais l'existence (au moins une solution) et l'unicité (une seule solution). La rédaction de ces conditions est primordiale pour obtenir la note maximale
1. Énoncé du théorème (Existence de solutions)
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$.
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que :
Démonstration :
Comme $f$ est continue sur $[a \ ; \ b]$, alors d'après le théorème des valeurs extrêmes, il existe deux nombres réels $M$ et $m$ tels que : $f([a \ ; \ b]) = [m \ ; \ M]$.
Comme $f(a)$ et $f(b)$ appartiennent à $[m \ ; \ M]$ (en supposant que $f(a) \leqslant f(b)$), donc on a l'inclusion suivante : $[f(a) \ ; \ f(b)] \subset [m \ ; \ M]$.
Donc pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $k \in f([a \ ; \ b])$), par définition de l'image d'un intervalle :
👉 Il existe au moins un réel $c$ de $[a \ ; \ b]$ tel que : $f(c) = k$
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Cette démonstration s'appuie directement sur la propriété fondamentale de l'image d'un intervalle par une fonction continue : l'image d'un intervalle est un intervalle ! C'est ce qui garantit qu'il n'y a pas de 'trou' dans les valeurs prises par la fonction entre $f(a)$ et $f(b)$. Retenez bien l'enchaînement de ces inclusions pour briller lors des questions de cours à l'examen !
💡 Interprétation Géométrique
Toute droite horizontale $y = k$ située entre les images $f(a)$ et $f(b)$ coupe la courbe $\mathcal{C}_f$ en au moins un point. Puisque la fonction est continue (tracée sans lever le crayon), elle doit forcément "passer" par toutes les valeurs intermédiaires.
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $\mathbf{f(a) \times f(b) < 0}$ (signes opposés), alors l'équation $\mathbf{f(x) = 0}$ admet au moins une solution $c \in ]a, b[$.
⚠️ Rappel de l'Expert : Ce théorème garantit l'existence d'une solution, mais pas son unicité. Pour prouver qu'il n'y a qu'une seule solution, nous aurons besoin de la condition de stricte monotonie.
2. Cas de la stricte monotonie : Unicité de la solution
Si l'on ajoute à la continuité la condition de stricte monotonie, la fonction ne se contente plus de traverser une valeur, elle le fait une seule fois. On parle alors de Bijection.
🌟 Théorème (Solution Unique)
Si une fonction $f$ est :
1. Continue sur un intervalle $[a, b]$.
2. Strictement monotone (soit toujours ↗, soit toujours ↘) sur $[a, b]$.
Alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ possède une unique solution $\alpha$ dans $[a, b]$.
Pour montrer que $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[a, b]$, vérifiez :
1. Continuité : "$f$ est continue sur $[a, b]$".
2. Stricte Monotonie : "$f$ est strictement croissante (ou décroissante) sur $[a, b]$".
3. Condition de signe : "$f(a) \times f(b) < 0$".
Conclusion : "D'après le TVI, l'équation admet une solution unique $\alpha \in ]a, b[$."
💡 Remarque (L'œil de l'Expert) : Le terme 'Bijection' signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent. C'est cette propriété qui nous permettra de définir la Fonction Réciproque dans la partie suivante. Maîtrisez bien ces trois conditions, elles valent des points précieux !
3. Méthode de dichotomie : Encadrement de $\alpha$
Lorsqu'on a prouvé qu'une équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $[a, b]$, la dichotomie permet de réduire l'amplitude de l'intervalle pour obtenir une valeur approchée de $\alpha$.
L'algorithme étape par étape :
- On calcule le milieu de l'intervalle : $m = \frac{a+b}{2}$.
- On calcule l'image de ce milieu : $f(m)$.
- On compare le signe de $f(m)$ avec celui de $f(a)$ :
- Si $f(a) \times f(m) < 0$, alors $\alpha \in [a, m]$.
- Si $f(a) \times f(m) > 0$, alors $\alpha \in [m, b]$.
- On recommence l'opération sur le nouvel intervalle jusqu'à obtenir la précision (amplitude) souhaitée.
Amplitude : Après $n$ étapes, l'amplitude de l'intervalle est réduite à : $\frac{b-a}{2^n}$.
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Au Bac, on ne vous demandera pas de faire 50 étapes à la main ! Généralement, on vous demande un encadrement à $10^{-1}$ ou $10^{-2}$.
Astuce : Présentez toujours vos résultats sous forme de tableau ($a$, $b$, $m$, $f(m)$) pour montrer au correcteur que vous maîtrisez la méthode itérative. C'est le signe d'une grande rigueur.
4. Applications : TVI & Unicité (Entraînement au format National)
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $\mathbf{f(x) = x^3 + x - 1}$.
Question : Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.
👁️ Voir la rédaction type
2. Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1$. Puisque $3x^2+1 > 0$ pour tout $x$, $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$.
3. Condition de signe : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$. On a $f(0) \times f(1) < 0$.
Conclusion : D'après le TVI, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.
On considère l'équation $f(x) = 0$ avec $\alpha \in [0, 1]$.
Question : Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,25$ en utilisant la méthode de dichotomie.
👁️ Voir les étapes de calcul
• Étape 1 : Milieu $c = 0,5$.
$f(0,5) = (0,5)^3 + 0,5 - 1 = -0,375$.
Comme $f(0,5) < 0$ et $f(1) > 0$, alors $\alpha \in [0,5 ; 1]$ (amplitude 0,5).
• Étape 2 : Nouveau milieu $c' = \frac{0,5 + 1}{2} = 0,75$.
$f(0,75) = (0,75)^3 + 0,75 - 1 \approx 0,17$.
Comme $f(0,5) < 0$ et $f(0,75) > 0$, alors $\mathbf{0,5 < \alpha < 0,75}$ (amplitude 0,25).
Énoncé : On sait que $h(x) = x^3 + x - 3 = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[1, 2]$.
Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,5$.
👁️ Voir les étapes de calcul
- Calcul de $h(1,5) = (1,5)^3 + 1,5 - 3 = 3,375 + 1,5 - 3 = 1,875$.
- Comme $h(1) = -1$ (négatif) et $h(1,5) = 1,875$ (positif), alors $\alpha \in [1 ; 1,5]$.
L'amplitude est bien $1,5 - 1 = 0,5$.
Énoncé : Soit $f$ la fonction définie sur $[0, 1]$ par $f(x) = x^3 + x - 1$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.
👁️ Voir les étapes de calcul
2. Calcul des images : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1^3 + 1 - 1 = 1$.
3. Vérification du signe : Comme $f(0) \times f(1) < 0$ (car $-1 < 0 < 1$), d'après le TVI, il existe au moins un réel $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha) = 0$.
Énoncé : Soit $g(x) = x^2 + \sqrt{x} - 2$.
1. Montrer que $g$ réalise une bijection de $[0, +\infty[$ vers un intervalle $J$ à déterminer.
2. En déduire que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]1, 2[$.
👁️ Voir les étapes de calcul
2. Unicité : Comme $0 \in [-2, +\infty[$, l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$.
Calculons : $g(1) = 1+1-2 = 0$. Ici $\alpha = 1$. (Dans un cas général, on vérifie $g(1) \times g(2) < 0$).
💡 Remarque (L'avis du Prof) : L'avis du Prof (18 ans d'expérience) : Dans les examens nationaux, on ne vous demande pas seulement le résultat, mais la rédaction. N'oubliez jamais de citer : 1. La continuité, 2. La stricte monotonie, 3. Le changement de signe. C'est le trio gagnant pour vos points !
V. Fonction Réciproque et Racine n-ième
L'existence d'une fonction réciproque est une conséquence directe de la bijection. Dans cette partie, nous allons définir les conditions de son existence et explorer ses propriétés géométriques, avant d'aborder une application majeure : la racine n-ième.
1. Théorème de la fonction réciproque
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Pour que $f$ admette une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $J = f(I)$, il suffit que :
2. Propriétés de $f^{-1}$
- 📉 Sens de variation : $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$ sur $J$.
- 🔗 Continuité : $f^{-1}$ est continue sur l'intervalle $J = f(I)$.
- 🎨 Représentation graphique : Dans un repère orthonormé, $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ est le symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la première bissectrice $(D) : y = x$.
3. La fonction racine n-ième ($\sqrt[n]{x}$)
La fonction $f(x) = x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0, +\infty[$. Elle admet donc une fonction réciproque appelée racine n-ième, notée $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.
• Puissance rationnelle : $x^{p/q} = \sqrt[q]{x^p}$
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Au Bac, on vous demande souvent de tracer $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ à partir de $\mathcal{C}_f$. L'astuce est de prendre quelques points clés $(x, y)$ de $\mathcal{C}_f$ et de placer leurs symétriques $(y, x)$ pour $\mathcal{C}_{f^{-1}}$.
Aussi, attention à la dérivabilité : $f^{-1}$ est dérivable en $y_0=f(x_0)$ seulement si $f'(x_0) \neq 0$. Un point à ne jamais oublier !
4. Exercice : Représentation Graphique de $f^{-1}$
📝 Maîtriser la symétrie par rapport à la première bissectrice
Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante sur $I = [0, 2]$ telle que :
• $f(0) = -1$ et $f(2) = 3$.
• $\mathcal{C}_f$ passe par le point $A(1, 0)$.
👁️ Voir la correction et les points clés
Étapes pour réussir le tracé au Bac :
- La droite de référence : Tracer d'abord la première bissectrice $\Delta : y = x$.
- Symétrie des points : Inverser les coordonnées des points clés de $\mathcal{C}_f$ :
- Si $f(0) = -1 \implies$ $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ passe par $(-1, 0)$.
- Si $f(1) = 0 \implies$ $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ passe par $(0, 1)$.
- Si $f(2) = 3 \implies$ $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ passe par $(3, 2)$.
- Les tangentes : Si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale en $A$, alors $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admettra une tangente verticale au point symétrique $A'$.
Symétrie axiale de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_{f^{-1}}$
📌 Conseil de Prof. AltiMath : Au National, n'oubliez pas d'utiliser des couleurs différentes. Le correcteur apprécie énormément la clarté. La courbe de la fonction réciproque doit être l'image miroir exacte de $f$ à travers la droite $y=x$.
💡 Remarque (Conseil pour le Bac) : N'oubliez jamais : si $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale en $A$, alors $\mathcal{C}_{f^{-1}}$ admettra une tangente verticale au point symétrique $A'$. C'est ce détail qui fait souvent la différence dans la précision du tracé !
VI. Exercices et Annales du Bac (Applications directes et préparation à l'examen national)
⚠️ Objectif 20/20 : Évitez les erreurs classiques
L'erreur : Justifier l'existence d'une solution unique $\alpha$ sans mentionner la monotonie.
La correction : Pour affirmer que la solution est unique, vous devez impérativement prouver que la fonction est strictement monotone sur l'intervalle.
L'erreur : Énoncer que $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sans vérifier la stricte monotonie.
Le conseil : Pour l'unicité, vous devez impérativement citer trois conditions :
Continuité + Stricte Monotonie + Changement de signe ($f(a) \times f(b) < 0$).
L'erreur : Garder le même ordre des images $[f(a), f(b)]$ quand la fonction est décroissante.
La correction : Si $f$ est décroissante, l'ordre s'inverse : $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$. Pour les limites, c'est identique.
L'erreur : Oublier de vérifier la continuité de $g$ sur l'image de l'intervalle $f(I)$.
La correction : Citez deux conditions : $f$ continue sur $I$ ET $g$ continue sur $f(I)$.
L'erreur : Penser que $f^{-1}$ a un sens de variation opposé à $f$.
La correction : $f$ et $f^{-1}$ ont toujours le même sens de variation. Si $f$ croît, $f^{-1}$ croît aussi.
L'erreur : Utiliser directement la limite sans vérifier si la fonction est définie au point $x_0$.
Le conseil : La continuité exige que $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Si $f(x_0)$ n'existe pas, on parle de prolongement par continuité.
💡 Remarque ( Le Conseil Final) : Ne notez jamais les formes indéterminées (ex: 0/0) avec un signe égal (=) sur votre copie. Ce sont des notations de brouillon. Présentez directement votre méthode de calcul (conjugaison, factorisation) pour garder une rédaction professionnelle.
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = \frac{1}{2}$.
Question : Montrer que $f$ est continue au point $x_0 = 0$.
👁️ Voir la solution détaillée
• En utilisant la quantité conjuguée : $\lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$.
• On constate que $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
Conclusion : $f$ est continue en 0.
Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.
👁️ Voir la solution détaillée
• Monotonie : $f'(x)=3x^2+1 > 0$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0, 1]$.
• Signe : $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f(0) \times f(1) < 0$.
Conclusion : D'après le TVI, l'équation admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$.
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.
1. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, 1[$.
2. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.25$ par la méthode de dichotomie.
[ Cliquer pour voir les étapes de rédaction ]
• Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \implies f$ est strictement croissante.
• Signe : $f(0) = -1$ et $f(1) = 1$, donc $f(0) \times f(1) < 0$.
• Conclusion : D'après le corollaire du TVI, $\alpha$ existe et est unique.
Le conseil d'AltiMath : Au Bac, la forme compte autant que le fond. Une rédaction structurée (Continuité $\to$ Monotonie $\to$ Signe) garantit la totalité des points au correcteur.
💡 Remarque (L'avis de l'Expert) : Pour l'examen national, la rédaction est aussi importante que le résultat. N'oubliez jamais de citer les trois conditions du TVI (Continuité, Stricte Monotonie et le Changement de signe) avant de conclure à l'existence de $\alpha$. C'est ce qui garantit la totalité des points !
Ce que vous devez savoir faire :
- ✅ Justifier la continuité d'une fonction composée sur un intervalle.
- ✅ Appliquer le TVI (Existence et Unicité) pour encadrer $\alpha$.
- ✅ Démontrer qu'une fonction admet une fonction réciproque $f^{-1}$.
- ✅ Tracer la courbe de $f^{-1}$ par symétrie axiale ($y=x$).
Session de Préparation AltiMath : 2BAC BIOF
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $I = [0, +\infty[$ par :
$f(x) = x^3 + 2x - 1$
Partie I : Étude de la continuité et TVI
- Montrer que $f$ est continue sur l'intervalle $I$.
- Calculer les limites aux bornes de $I$ : $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
- Étudier la monotonie de $f$ sur $I$, puis dresser le tableau de variations.
- Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]0, 1[$.
- Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,5$ par la méthode de dichotomie.
✅ Correction de la Partie I
2. Limites : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$.
3. Monotonie : $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ pour tout $x$. $f$ est donc strictement croissante.
4. TVI : $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$. On a $f(0) = -1$ et $f(1) = 2$. Comme $f(0) \times f(1) < 0$, alors d'après le TVI, $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$.
5. Dichotomie : $f(0,5) = (0,5)^3 + 2(0,5) - 1 = 0,125 + 1 - 1 = 0,125$. Comme $f(0)=-1$ (négatif) et $f(0,5)>0$, alors $0 < \alpha < 0,5$.
Partie II : Fonction Réciproque
- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
- Calculer $f(1)$, puis en déduire $(f^{-1})(2)$.
- Dresser le tableau de variations de $f^{-1}$ sur $J$.
✅ Correction de la Partie II
2. Calcul : $f(1) = 1^3 + 2(1) - 1 = 2$. Donc $f^{-1}(2) = 1$.
3. Variations : $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$. Donc $f^{-1}$ est strictement croissante sur $[-1, +\infty[$.
Niveau : 2BAC BIOF (SM / PC / SVT)
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{5}u_n + \frac{4}{5}$.
- Montrer par récurrence que $u_n > 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Montrer que $(u_n)$ est décroissante, puis en déduire qu'elle est convergente.
- On pose $v_n = u_n - 1$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 1/5$.
- Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - 6z + 13 = 0$.
- Soient $A, B$ et $C$ d'affixes respectives $a=3+2i$, $b=3-2i$ et $c=1+2i$.
a) Placer les points dans le plan complexe.
b) Calculer $\frac{c-a}{b-a}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$.
Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires. On tire simultanément 2 boules.
- Calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
- Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
Déterminer la loi de probabilité de $X$ et calculer $E(X)$.
Soit $f(x) = (x-1)e^x$.
- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
- Étudier les branches infinies de $\mathcal{C}_f$.
- Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
- Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[0, 1]$.
- Calculer l'intégrale $I = \int_{0}^{1} (x-1)e^x dx$ (utiliser une intégration par parties).
Conseil d'AltiMath : Cet examen simule la structure réelle du Bac. Entraînez-vous en conditions réelles (sans téléphone, 3h chrono) pour tester votre gestion du temps.
🟢 Niveau 1 : Base
Série 1 : Calcul direct de limites, levée des formes indéterminées simples ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$) et étude de continuité en un point.
🟠 Niveau 2 : Avancé
Série 2 : Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), continuité sur un intervalle, fonction réciproque et étude des racines $n$-ièmes.
🔴 Examen National
Annales Corrigées : Extraits officiels triés sur le volet avec étude de la continuité, branches infinies et asymptotes géométriques.
