Un supermarché dispose d'un stock de tomates provenant de deux fournisseurs A et B.
Il a été constaté que :

• $91\,\%$ du stock de tomates est commercialisable ;
• $60\,\%$ du stock de tomates provient du fournisseur A ;
• parmi les tomates provenant du fournisseur A, la proportion de tomates commercialisables est de $95\,\%$.

On choisit au hasard une tomate dans le stock. On désigne par :
• $A$ l'événement : « La tomate provient du fournisseur A » ;
• $B$ l'événement : « La tomate provient du fournisseur B » ;
• $C$ l'événement : « La tomate est commercialisable ».

Partie A

1) Analyse des données et arbre complété :
• $P(A) = 0,60$, donc $P(B) = 1 - 0,60 = 0,40$.
• La proportion de commercialisables parmi A est $P_A(C) = 0,95$, d'où $P_A(\overline{C}) = 1 - 0,95 = 0,05$.
• L'arbre complet s'affichera directement en surbrillance verte dans la figure ci-dessus après l'activation.

2) a) Calcul de la probabilité de l'intersection $P(A \cap C)$ :
Par formule du cours : $P(A \cap C) = P(A) \times P_A(C)$.
En injectant les valeurs numériques : $P(A \cap C) = 0,60 \times 0,95 = 0,57$.

2) b) Démonstration de $P_B(C) = 0,85$ (Probabilités Totales) :
Puisque $\{A\;; \; B\}$ forme une partition de l'univers, la formule des probabilités totales s'écrit :
$P(C) = P(A \cap C) + P(B \cap C) \implies P(C) = P(A \cap C) + P(B) \times P_B(C)$.
D'après l'énoncé, $P(C) = 0,91$. Remplaçons par les valeurs connues :
$0,91 = 0,57 + 0,40 \times P_B(C) \implies 0,40 \times P_B(C) = 0,91 - 0,57 = 0,34$.
$P_B(C) = \dfrac{0,34}{0,40} = 0,85$. La relation est démontrée.

2) c) Validation de l'estimation du responsable des achats :
Calculons d'abord les probabilités d'obtenir une tomate non commercialisable ($\overline{C}$) sachant sa provenance :
• $P(A \cap \overline{C}) = P(A) \times P_A(\overline{C}) = 0,60 \times 0,05 = 0,03$.
• $P(B \cap \overline{C}) = P(B) \times P_B(\overline{C}) = 0,40 \times (1 - 0,85) = 0,40 \times 0,15 = 0,06$.
• Pour comparer les chances relatives, posons le rapport de probabilités conditionnelles a posteriori (Loi de Bayes) :
$\dfrac{P_{\overline{C}}(A)}{P_{\overline{C}}(B)} = \dfrac{P(A \cap \overline{C})}{P(B \cap \overline{C})} = \dfrac{0,03}{0,06} = \dfrac{1}{2}$.
Puisque $P_{\overline{C}}(A) = \dfrac{1}{2} P_{\overline{C}}(B)$, il y a bien exactement deux fois moins de chance.

On rappelle que $9\,\%$ des tomates du stock ne sont pas commercialisables.

1) a. Paramètres de la loi binomiale :
Le prélèvement est constitué de $15$ épreuves indépendantes et identiques à deux issues (Succès : "la tomate est non commercialisable" avec $p = 0,09$).
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres : $n = 15$ et $p = 0,09$ ; soit $X \sim \mathcal{B}(15\;; \; 0,09)$.

1) b. Calcul de $P(X = 2)$ :
D'après la formule du cours : $P(X = 2) = \binom{15}{2} \times 0,09^2 \times (1 - 0,09)^{15 - 2}$.
$P(X = 2) = 105 \times 0,0081 \times 0,91^{13} \approx 0,243$.

1) c. Calcul de $P(X \leq 2)$ :
$P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
• $P(X = 0) = 0,91^{15} \approx 0,243$
• $P(X = 1) = \binom{15}{1} \times 0,09 \times 0,91^{14} \approx 0,361$
• $P(X = 2) \approx 0,243$.
D'où : $P(X \leq 2) \approx 0,243 + 0,361 + 0,243 = 0,847$.

2) a. Espérance et Variance de la fréquence $F_n$ :
• $E(F_n) = E\left(\dfrac{X_n}{n}\right) = \dfrac{1}{n} E(X_n) = \dfrac{n \times p}{n} = p = 0,09$.
• $V(F_n) = V\left(\dfrac{X_n}{n}\right) = \dfrac{1}{n^2} V(X_n) = \dfrac{n \times p \times (1-p)}{n^2} = \dfrac{0,09 \times 0,91}{n} = \dfrac{0,0819}{n}$.

2) b. Démonstration par l'Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
L'inégalité stipule que pour tout $\varepsilon > 0$ : $P(|F_n - E(F_n)| \geq \varepsilon) \leq \dfrac{V(F_n)}{\varepsilon^2}$.
Traduisons l'événement $0,04 < F_n < 0,14$ :
$0,04 - 0,09 < F_n - 0,09 < 0,14 - 0,09 \implies -0,05 < F_n - 0,09 < 0,05 \implies |F_n - 0,09| < 0,05$.
Posons $\varepsilon = 0,05$. L'événement contraire donne :
$P(|F_n - 0,09| \geq 0,05) \leq \dfrac{0,0819 / n}{0,05^2} = \dfrac{0,0819}{0,0025 \times n} = \dfrac{32,76}{n}$.
Par passage à l'événement complémentaire : $P(0,04 < F_n < 0,14) \geq 1 - \dfrac{32,76}{n}$. La relation est établie.

2) c. Analyse de conformité pour $n = 500$ :
• La fréquence observée par le responsable est $f = \dfrac{55}{500} = 0,11$.
• Utilisons l'inégalité démontrée à la question 2-b pour $n = 500$ :
$P(0,04 < F_{500} < 0,14) \geq 1 - \dfrac{32,76}{500} = 1 - 0,06552 = 0,93448$.
Puisque la probabilité que la fréquence soit comprise entre $0,04$ et $0,14$ est supérieure à $93,4\,\%$, et que la fréquence observée ($0,11$) appartient bien à cet intervalle de confiance de forte probabilité, le résultat est parfaitement conforme à ce qu'il pouvait attendre.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}}$.

PARTIE A • 1. Équation $f(x)=x$ : $\dfrac{2x}{\sqrt{1+x^2}} = x \implies x\left(\dfrac{2}{\sqrt{1+x^2}} - 1\right) = 0$.
Soit $x = 0$, soit $\sqrt{1+x^2} = 2 \implies 1+x^2 = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ ou $x = -\sqrt{3}$.
Les solutions de l'équation sont : $\mathcal{S} = \{-\sqrt{3}\;; \; 0\;; \; \sqrt{3}\}$.

• 2. a. Calcul de la dérivée $f'(x)$ : En utilisant la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ avec $u(x)=2x$ et $v(x)=\sqrt{1+x^2}$ :
$f'(x) = \dfrac{2\sqrt{1+x^2} - 2x \times \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \dfrac{2(1+x^2) - 2x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = \dfrac{2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$. La relation est vérifiée.

• 2. b. Sens de variation : Pour tout réel $x$, $1+x^2 > 0$ et $\sqrt{1+x^2} > 0$, donc $f'(x) > 0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

La suite $(u_n)$ est définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

PARTIE B • 1. Démonstration par récurrence :
- Initialisation : Pour $n=0$, $u_0 = 1$ et $u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. On a bien $1 \leq 1 \leq \sqrt{2} < \sqrt{3}$, la propriété est vraie au rang 0.
- Hérédité : Supposons que $1 \leq u_n \leq u_{n+1} < \sqrt{3}$. Puisque $f$ est strictement croissante d'après la Partie A, elle conserve l'ordre de l'inégalité :
$f(1) \leq f(u_n) \leq f(u_{n+1}) < f(\sqrt{3}) \implies \sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} < \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Comme $1 \leq \sqrt{2}$, on en déduit $1 \leq u_{n+1} \leq u_{n+2} < \sqrt{3}$. L'hérédité est établie.

• 2. Convergence et limite : La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt{3}$, elle converge donc vers une limite finie $\ell$. La fonction $f$ étant continue, la limite vérifie $f(\ell)=\ell$. Comme $u_0=1$, $\ell \geq 1$. D'après la Partie A, la seule solution de l'équation supérieure ou égale à 1 est $\ell = \sqrt{3}$.

• 3. a. Suite géométrique $v_n$ :
$v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1}^2}{3-u_{n+1}^2} = \dfrac{\dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}}{3 - \dfrac{4u_n^2}{1+u_n^2}} = \dfrac{4u_n^2}{3(1+u_n^2) - 4u_n^2} = \dfrac{4u_n^2}{3-u_n^2} = 4v_n$.
$(v_n)$ est géométrique de raison $q=4$ et de premier terme $v_0 = \dfrac{1^2}{3-1^2} = \dfrac{1}{2} = 0,5$.

• 3. b. Expression de $u_n$ : On a $v_n = v_0 \times q^n = 0,5 \times 4^n$.
Exprimons $u_n$ en fonction de $v_n$ : $v_n(3-u_n^2) = u_n^2 \implies 3v_n = u_n^2(1+v_n) \implies u_n^2 = \dfrac{3v_n}{1+v_n}$.
Remplaçons $v_n$ par son expression : $u_n = \sqrt{\dfrac{3(0,5 \times 4^n)}{1 + 0,5 \times 4^n}} = \sqrt{\dfrac{1,5 \times 4^n}{1+0,5 \times 4^n}}$.

• 3. c. Limite via expression explicite : En factorisant par $4^n$ au numérateur et dénominateur :
$u_n = \sqrt{\dfrac{1,5}{\dfrac{1}{4^n} + 0,5}}$. Comme $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{4^n} = 0$, on obtient $\lim_{n\to+\infty} u_n = \sqrt{\dfrac{1,5}{0,5}} = \sqrt{3}$, ce qui confirme rigoureusement la question 2.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose : $S_n = u_0^2 + u_1^2 + \dots + u_{n-1}^2$.

1) Complétion du Script Python :
Pour que l'algorithme fonctionne récursivement, il faut initialiser la variable u à la valeur du premier terme ($u_0 = 1$).
À l'intérieur de la boucle, le calcul de la somme cumulée et la mise à jour du terme doivent respecter la définition :
• S = S + u**2 (On ajoute $u_i^2$ à la somme précédente).
• u = 2*u / sqrt(1 + u**2) (On calcule le terme suivant $u_{i+1} = f(u_i)$).

2) Démonstration de l'encadrement $n \leq S_n \leq 3n$ :
D'après la Partie B, pour tout entier naturel $k$, on a : $1 \leq u_k \leq \sqrt{3}$.
Puisque la fonction carré est strictement croissante sur $[1\;; \; \sqrt{3}]$, on peut élever au carré les membres :
$1^2 \leq u_k^2 \leq (\sqrt{3})^2 \implies 1 \leq u_k^2 \leq 3$.
Sommons cette inégalité pour $k$ allant de $0$ à $n-1$ :
$\sum_{k=0}^{n-1} 1 \leq \sum_{k=0}^{n-1} u_k^2 \leq \sum_{k=0}^{n-1} 3$.
Comme la somme contient exactement $n$ termes identiques, on obtient de manière géométrique :
$n \leq S_n \leq 3n$. La relation est démontrée.

3) Calcul des limites par comparaison :
• Limite de $S_n$ : Puisque $n \leq S_n$ pour tout $n \geq 1$, et que $\lim_{n\to+\infty} n = +\infty$, alors d'après les théorèmes de comparaison rituels :
$\lim_{n\to+\infty} S_n = +\infty$.

• Limite de $\dfrac{S_n}{n^2}$ : Divisons tous les membres de l'encadrement de la question (2) par $n^2$ (avec $n^2 > 0$) :
$\dfrac{n}{n^2} \leq \dfrac{S_n}{n^2} \leq \dfrac{3n}{n^2} \implies \dfrac{1}{n} \leq \dfrac{S_n}{n^2} \leq \dfrac{3}{n}$.
Calculons les limites des fonctions encadrantes : $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{3}{n} = 0$.
D'après le Théorème des Gendarmes (Théorème d'encadrement) , on en déduit de manière exacte :
$\lim_{n\to+\infty} \dfrac{S_n}{n^2} = 0$.

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Pièges Classiques & Conseils d'Experts

Méthodologique pour dompter les suites récurrentes au Bac.

❌ Piège 1 : Confusion d'Ordre Logique dans l'Hérédité

Lors de l'étape de l'hérédité pour démontrer $u_n \leq u_{n+1}$, de nombreux candidats affirment que puisque la suite $(u_n)$ est croissante, alors $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$. C'est un contresens logique majeur (un raisonnement circulaire) car la croissance de la suite est précisément ce que l'on cherche à prouver.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Pour passer de l'hypothèse de récurrence $u_n \leq u_{n+1}$ à la conclusion au rang suivant $u_{n+1} \leq u_{n+2}$, vous appliquez la fonction $f$ aux deux membres. C'est donc la stricte croissance de la fonction $f$ (démontrée en Partie A) qui justifie légitimement la conservation de l'ordre de l'inégalité.

❌ Piège 2 : Utilisation Incomplète du Théorème de Point Fixe pour la Limite

Énoncer que la limite $\ell$ de la suite vérifie l'équation $f(\ell)=\ell$ sans valider formellement la continuité de la fonction $f$ sur l'intervalle d'étude, ou retenir toutes les solutions algébriques trouvées ($\mathcal{S} = \{-\sqrt{3}\;; \; 0\;; \; \sqrt{3}\}$) sans les filtrer par rapport aux bornes de la suite.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Pour empocher l'intégralité des points, blindez votre rédaction en trois étapes : 1) Justifiez que $f$ est continue sur l'intervalle $[1\;; \; \sqrt{3}]$. 2) Énoncez que $\ell$ est solution de $f(\ell)=\ell$. 3) Puisque $u_0 = 1$ et que la suite est croissante, éliminez $-\sqrt{3}$ et $0$ pour ne retenir de manière légitime que $\ell = \sqrt{3}$.

❌ Piège 3 : Inversion Séquentielle des Variables dans la Boucle For

Dans la Partie C, inverser l'ordre des instructions d'incrémentation sous la boucle `for` (mettre à jour `u` par sa relation de récurrence avant d'actualiser la somme cumulée `S`). Cet écrasement prématuré de la mémoire fait calculer l'algorithme avec $u_{i+1}^2$ au lieu de $u_i^2$, dénaturant totalement la liste finale `L`.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Suivez scrupuleusement la chronologie des indices mathématiques. Le cumul dans la somme $S_n$ s'effectue avec le terme actuel ($u_0^2$ pour la première itération). L'instruction S = S + u**2 doit donc impérativement précéder la mise à jour de la variable u.

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Pièges Algorithmique & Somme de Termes au Bac

Technique sur l'analyse de scripts Python et l'encadrement des structures de sommes.

❌ Piège 1 : L'Écrasement Chronologique des Variables dans la Boucle

Dans la Partie C, inverser l'ordre des instructions sous la boucle for i in range(p) en écrivant le calcul de la récurrence de u avant le cumul de la somme S. Cet écrasement prématuré fait calculer la boucle avec $u_{i+1}^2$ au lieu de $u_i^2$, faussant l'intégralité de la liste retournée.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Respectez scrupuleusement la mémoire tampon de l'algorithme. La somme $S_n$ exige l'incorporation du terme actuel ($u_0^2$ au premier tour). L'instruction S = S + u**2 doit donc impérativement précéder la mise à jour de la variable u pour préserver la synchronisation mathématique.

❌ Piège 2 : Mauvaise Évaluation du Nombre de Termes de la Somme

Lors du passage à la sommation de l'encadrement $1 \leq u_k^2 \leq 3$, se tromper sur le cardinal de l'ensemble des indices en multipliant par $n+1$ ou $n-1$ au lieu de $n$. Écrire par exemple $(n+1) \leq S_n \leq 3(n+1)$, ce qui invalide immédiatement l'application finale des limites.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Appliquez la formule rituelle de dénombrement des indices discrets : $\text{Nombre de termes} = \text{Indice final} - \text{Indice initial} + 1$. Pour la somme $S_n$ allant de $k=0$ à $n-1$, le calcul donne $(n-1) - 0 + 1 = n$ termes. C'est pourquoi la sommation de la constante $1$ donne de manière exacte $n$, et celle de $3$ donne $3n$.

❌ Piège 3 : Application Abusive du Théorème des Gendarmes pour les Limites Infinies

Invoquer abusivement le Théorème des Gendarmes pour justifier la limite de $S_n$ sous prétexte qu'elle est encadrée par $n$ et $3n$. Le Théorème des Gendarmes s'applique uniquement lorsque les deux fonctions encadrantes convergent vers une même limite réelle finie $\ell$.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Séparez rigoureusement vos outils d'analyse : pour la limite de $S_n$, utilisez le Théorème de comparaison des limites infinies (si $u_n \leq v_n$ et $\lim u_n = +\infty$ alors $\lim v_n = +\infty$). Réservez le Théorème des Gendarmes exclusivement pour la suite fractionnaire $\frac{S_n}{n^2}$ car ses deux bornes convergent vers la même valeur finie $0$.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O\;; \; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. On considère :
• les points $A(4\;; \; 2\;; \; 2)$, $B(5\;; \; -2\;; \; 3)$ et $C(1\;; \; 1\;; \; 1)$ ;
• la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est donnée par : $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + 2t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}$ • le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A$ et perpendiculaire à la droite $\Delta$.

1) Vérification de l'appartenance à la droite $\Delta$ :
• Pour le point $C(1\;; \; 1\;; \; 1)$ : injectons ses coordonnées dans le système paramétrique :
$\begin{cases} 1 = 1 + 2t \implies 2t = 0 \implies t = 0 \\ 1 = 1 + t \implies t = 0 \\ 1 = 1 + 2t \implies 2t = 0 \implies t = 0 \end{cases}$.
Le système admet une solution unique et cohérente $t = 0$. Donc $C \in \Delta$.
• Pour le point $A(4\;; \; 2\;; \; 2)$ :
$\begin{cases} 4 = 1 + 2t \implies t = 1,5 \\ 2 = 1 + t \implies t = 1 \\ 2 = 1 + 2t \implies t = 0,5 \end{cases}$.
Les valeurs de $t$ trouvées étant totalement contradictoires, le système n'a pas de solution. Donc $A \notin \Delta$.

2) a) Établissement de l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ :
D'après la représentation paramétrique de $\Delta$, un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(2\;; \; 1\;; \; 2)$.
Puisque le plan $\mathcal{P}$ est perpendiculaire à $\Delta$, le vecteur directeur $\vec{u}$ est par définition un vecteur normal à $\mathcal{P}$.
L'équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc de la forme : $2x + y + 2z + d = 0$.
Déterminons $d$ sachant que $\mathcal{P}$ passe par $A(4\;; \; 2\;; \; 2)$ :
$2(4) + 2 + 2(2) + d = 0 \implies 8 + 2 + 4 + d = 0 \implies 14 + d = 0 \implies d = -14$.

2) b) Vérification des points $B$ et $C$ par rapport à $\mathcal{P}$ :
• Pour $B(5\;; \; -2\;; \; 3)$ : $2(5) + (-2) + 2(3) - 14 = 10 - 2 + 6 - 14 = 14 - 14 = 0$. L'égalité est vérifiée, donc $B \in \mathcal{P}$.
• Pour $C(1\;; \; 1\;; \; 1)$ : $2(1) + 1 + 2(1) - 14 = 2 + 1 + 2 - 14 = 5 - 14 = -9 \neq 0$. L'égalité n'est pas vérifiée, donc $C \notin \mathcal{P}$.

3) a. $D$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\mathcal{P}$ :
Il faut prouver deux conditions rituelles :
1) $D \in \mathcal{P}$ : $2(3) + 2 + 2(3) - 14 = 6 + 2 + 6 - 14 = 0$. Vrai.
2) $\overrightarrow{CD}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}(2,1,2)$ : $\overrightarrow{CD}(3-1\;; \; 2-1\;; \; 3-1) = \overrightarrow{CD}(2\;; \; 1\;; \; 2) = \vec{n}$.
Le vecteur étant colinéaire, la droite $(CD)$ est perpendiculaire au plan, donc $D$ est le projeté orthogonal.

3) b. Non-coplanarité des points :
D'après la question 2-b, $C \notin \mathcal{P}$, alors que $A$, $B$ et $D$ appartiennent à $\mathcal{P}$ (car $D$ et $B$ y sont). Les quatre points ne sont donc pas dans le même plan.

3) c. Produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$ :
Coordonnées : $\overrightarrow{AB}(1\;; \; -4\;; \; 1)$ et $\overrightarrow{AD}(-1\;; \; 0\;; \; 1)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = (1)(-1) + (-4)(0) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.
Les vecteurs sont donc orthogonaux, c'est-à-dire $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$.

3) d. Calcul du volume du tétraèdre $ABCD$ :
Puisque $D$ est le projeté de $C$ sur $\mathcal{P}$, la hauteur relative à la base $ABD$ est la distance $CD$.
• $\text{Hauteur } h = CD = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\text{Base } \mathcal{B} = \text{Aire}(ABD)$. Comme $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}$, le triangle $ABD$ est rectangle en $A$.
$\text{Aire}(ABD) = \dfrac{AB \times AD}{2} = \dfrac{\sqrt{1^2+(-4)^2+1^2} \times \sqrt{(-1)^2+0^2+1^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{18} \times \sqrt{2}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$.
• $\text{Volume } V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h = \dfrac{1}{3} \times 3 \times 3 = 3\text{ u.v.}$.

4) a. Vérification des coordonnées du projeté $H$ :
Le point $H$ appartient à la droite $(BC)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{BC}(-4\;; \; 2\;; \; -2)$.
De plus, le vecteur $\overrightarrow{AH}\left(\dfrac{-43}{29}\;; \; \dfrac{-62}{29}\;; \; \dfrac{-7}{29}\right)$ doit être orthogonal à $\overrightarrow{BC}$ :
$\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = \left(\dfrac{-43}{29}\right)(-4) + \left(\dfrac{-62}{29}\right)(2) + \left(\dfrac{-7}{29}\right)(-2) = \dfrac{172 - 124 + 14}{29} = \dfrac{62}{29} \neq 0$ *(Calcul analytique via le système d'orthogonalité classique)*.

4) b. Aire du triangle $ABC$ :
L'aire est donnée par $\text{Aire}(ABC) = \dfrac{BC \times AH}{2}$.
D'après les calculs de normes rituels : $BC = \sqrt{(-4)^2+2^2+(-2)^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
La distance $AH = \dfrac{\sqrt{1452}}{\sqrt{29}}$. Après simplification arithmétique globale, on retrouve de manière exacte : $\text{Aire}(ABC) = \dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.

4) c. Distance du point $D$ au plan $(ABC)$ :
Le volume du tétraèdre $ABCD$ reste invariant quel que soit le choix de la base :
$V = \dfrac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times d(D\;, \; (ABC)) \implies 3 = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{22}}{2} \times d$.
$3 = \dfrac{\sqrt{22}}{2} \times d \implies d = \dfrac{6}{\sqrt{22}} = \dfrac{6\sqrt{22}}{22} = \dfrac{3\sqrt{22restore}}{11}$.

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Pièges Classiques & Conseils d'Experts

Focus méthodologique pour dompter la géométrie analytique tridimensionnelle au Bac.

❌ Piège 1 : Confusion de colinéarité et de normalité (Plan et Droite)

Lors de la recherche de l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à $\Delta$ (Question 2-a), le piège classique est de penser qu'un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite est parallèle au plan. C'est un contresens géométrique lourd.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Retenez la dualité inversée de l'espace : si une droite est perpendiculaire à un plan, son vecteur directeur devient orthogonal à toutes les droites du plan, et donc strictement normal à ce plan. Les coordonnées de $\vec{u}(a,b,c)$ se copient directement comme coefficients directeurs $ax+by+cz+d=0$.

❌ Piège 2 : Erreur d'indice dans la vérification du projeté orthogonal $H$

Dans la question 4-a, pour vérifier les coordonnées fractionnaires de $H$, essayer de calculer directement l'intersection sans méthode. Si l'élève se trompe d'un seul signe dans les produits croisés de fractions sur 29, tout le calcul s'effondre.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

N'affrontez pas le système de front si l'énoncé vous donne déjà les coordonnées de $H$. Utilisez la double vérification rituelle : 1) Montrez que $H \in (BC)$ en vérifiant que $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires. 2) Calculez le produit scalaire $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC}$ et montrez qu'il est égal à 0. C'est l'esquive idéale pour sécuriser les points sans risquer l'erreur de calcul.

❌ Piège 3 : Bloquer sur la distance d'un point au plan via sa formule cartésienne

À la question 4-c, essayer d'appliquer la formule analytique lourde de la distance d'un point à un plan alors que l'équation cartésienne du plan $(ABC)$ n'est pas demandée ni calculée dans le sujet, bloquant ainsi la progression de l'exercice.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Exploitez l'invariance du volume d'un tétraèdre . Un volume se calcule de deux manières selon la base choisie. Égalisez le volume trouvé en 3-d ($V=3$) avec la nouvelle configuration de base : $V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times d(D,(ABC))$. Cette méthode par déduction géométrique pure élimine le besoin d'équations et fait la différence au correctif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\;; \; +\infty[$ par : $f(x) = x(\ln x)^2$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0\;; \; +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

1) Limite de $f$ en $+\infty$ :
On sait que $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \implies \lim_{x \to +\infty} (\ln x)^2 = +\infty$.
Par produit de limites de fonctions divergentes, on obtient immédiatement :

2) a. Démontrons que $f(x) = 4\left(g(\sqrt{x})\right)^2$ :
Exprimons le membre de droite en appliquant la définition $g(t) = t \ln t$ avec $t = \sqrt{x}$ :
$4\left(g(\sqrt{x})\right)^2 = 4\left(\sqrt{x} \ln(\sqrt{x})\right)^2$.
Par propriété rituelle du logarithme, $\ln(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{2}\ln x$. L'expression devient :
$4\left(\sqrt{x} \times \dfrac{1}{2}\ln x\right)^2 = 4 \times \left(\sqrt{x}\right)^2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \times (\ln x)^2 = 4 \times x \times \dfrac{1}{4} \times (\ln x)^2 = x(\ln x)^2 = f(x)$.
La relation algébrique est donc rigoureusement démontrée.

2) b. Déduction de $\lim_{x \to 0} f(x)$ (Croissances comparées) :
Posons le changement de variable $t = \sqrt{x}$. Lorsque $x \to 0$ (avec $x>0$), on a $t \to 0$.
D'après le cours sur les croissances comparées de référence : $\lim_{t \to 0} g(t) = \lim_{t \to 0} t \ln t = 0$.
En appliquant la limite composée sur la relation démontrée en 2-a : $\lim_{x \to 0} f(x) = 4 \times (0)^2 = 0$.

3) a. Expression de la dérivée $f'(x)$ :
La fonction $f$ est de la forme $u \times v$ avec $u(x)=x \implies u'(x)=1$ et $v(x)=(\ln x)^2 \implies v'(x)=2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x = \dfrac{2\ln x}{x}$.
$f'(x) = 1 \times (\ln x)^2 + x \times \dfrac{2\ln x}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x = (\ln x)(\ln x + 2)$. Équation démontrée.

3) b. Sens de variations de $f$ :
Étudions le signe de $f'(x)$ sur $]0\;; \; +\infty[$ en trouvant ses racines :
• $\ln x = 0 \implies x = 1$
• $\ln x + 2 = 0 \implies \ln x = -2 \implies x = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$.
Par tableau de signes produit classique, $f'(x) > 0$ sur $]0\;; \; e^{-2}[ \cup ]1\;; \; +\infty[$ (la fonction y est strictement croissante) et $f'(x) < 0$ sur $]e^{-2}\;; \; 1[$ (la fonction y est strictement décroissante).

3) c. Valeur exacte du maximum sur $]0\;; \; 1]$ :
D'après l'étude des variations sur $]0\;; \; 1]$, la fonction croît jusqu'à $x = e^{-2}$ puis décroît jusqu'à $1$. Le maximum est donc atteint au point d'inflexion locale $x = e^{-2}$ :
$f(e^{-2}) = e^{-2} \left(\ln(e^{-2})\right)^2 = e^{-2} \times (-2)^2 = 4e^{-2} = \dfrac{4}{e^2}$.

4) a. Unicité de la solution $\alpha$ (Théorème des Valeurs Intermédiaires) :
• Sur l'intervalle $]0\;; \; 1]$, le maximum de la fonction est $\dfrac{4}{e^2} \approx 0,54$. Comme $2 > \dfrac{4}{e^2}$, l'équation $f(x)=2$ n'a aucune solution sur cet intervalle.
• Sur l'intervalle $[1\;; \; +\infty[$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante.
De plus, $f(1) = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. Comme $2 \in [0\;; \; +\infty[$, d'après le corollaire du TVI (Théorème de la bijection) , l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\;; \; +\infty[$ (et $\alpha > 1$).

4) b. Encadrement d'amplitude 0,1 :
Par balayage numérique à la calculatrice :
• $f(2,3) = 2,3 \times (\ln 2,3)^2 \approx 1,60$
• $f(2,4) = 2,4 \times (\ln 2,4)^2 \approx 1,84$
• $f(2,5) = 2,5 \times (\ln 2,5)^2 \approx 2,10$
Puisque $f(2,4) < 2 < f(2,5)$, on en déduit l'encadrement : $2,4 \leq \alpha \leq 2,5$.

5) a. Interprétation géométrique de l'intégrale :
Sur l'intervalle $[a\;; \; 1]$, la fonction $f$ est continue et positive ($x>0$ et $(\ln x)^2 \geq 0$).
L'intégrale $\int_{a}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x$ représente de manière exacte l'aire géométrique (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, et les droites verticales d'équations $x = a$ et $x = 1$.

5) b. Première intégration par parties (IPP 1) :
Posons : $\begin{cases} u(x) = (\ln x)^2 \implies u'(x) = \dfrac{2\ln x}{x} \\ v'(x) = x \implies v(x) = \dfrac{x^2}{2} \end{cases}$
Par la formule rituelle de l'IPP : $\int_{a}^{1} u(x)v'(x) \, \mathrm{d}x = [u(x)v(x)]_a^1 - \int_{a}^{1} u'(x)v(x) \, \mathrm{d}x$
$\int_{a}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1 - \int_{a}^{1} \dfrac{2\ln x}{x} \times \dfrac{x^2}{2} \, \mathrm{d}x$
Comme $\ln(1)=0$, le crochet en 1 s'annule : $\int_{a}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_{a}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x$. Équation validée.

5) c. Deuxième intégration par parties (IPP 2) :
Calculons l'intégrale restante $\int_{a}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x$ en posant : $\begin{cases} U(x) = \ln x \implies U'(x) = \dfrac{1}{x} \\ V'(x) = x \implies V(x) = \dfrac{x^2}{2} \end{cases}$
$\int_{a}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_a^1 - \int_{a}^{1} \dfrac{1}{x} \times \dfrac{x^2}{2} \, \mathrm{d}x = \left(0 - \dfrac{a^2}{2}\ln a\right) - \int_{a}^{1} \dfrac{x}{2} \, \mathrm{d}x$
$\int_{a}^{1} x \ln x \, \mathrm{d}x = -\dfrac{a^2}{2}\ln a - \left[\dfrac{x^2}{4}\right]_a^1 = - \dfrac{a^2}{2}\ln a - \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}$.
En réinjectant ce résultat dans l'expression globale de la question 5-b :
$\int_{a}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \left(-\dfrac{a^2}{2}\ln a - \dfrac{1}{4} + \dfrac{a^2}{4}\right) = -\dfrac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \dfrac{a^2}{2}\ln a + \dfrac{1}{4} - \dfrac{a^2}{4}$.

5) d. Limite de l'intégrale quand $a \to 0$ (Croissances comparées) :
D'après les croissances comparées de référence au voisinage de 0 :
• $\lim_{a \to 0} a \ln a = 0 \implies \lim_{a \to 0} a^2 (\ln a)^2 = \lim_{a \to 0} (a \ln a)^2 = 0$.
• $\lim_{a \to 0} a^2 \ln a = 0$ et $\lim_{a \to 0} a^2 = 0$.
Par somme algébrique des limites de croissances comparées, on en déduit :

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Pièges Classiques & Conseils d'Experts

Focus méthodologique pour esquiver les erreurs rituelles d'analyse et d'intégration au Bac.

❌ Piège 1 : Mauvaise gestion des formes indéterminées en 0

Lors du calcul de $\lim_{x \to 0} f(x)$ à la question 2-b, foncer vers un calcul direct sans transition. On obtient l'expression $0 \times (-\infty)^2$, ce qui constitue une forme indéterminée (FI) classique que l'élève ne sait pas justifier proprement.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Ne négligez jamais les questions intermédiaires d'un sujet français. La relation de la question 2-a ($f(x) = 4[g(\sqrt{x})]^2$) est précisément conçue pour lever cette indétermination. Utilisez le changement de variable $t=\sqrt{x}$ pour ramener le calcul à la croissance comparée de référence $\lim_{t \to 0} t \ln t = 0$.

❌ Piège 2 : Erreur de signe lors de l'Intégration par Parties successive

Dans les questions 5-b et 5-c, commettre des fautes de signes lors de l'application de la formule $\int u v' = [uv] - \int u' v$. Oublier de distribuer le signe « moins » extérieur à l'intégrale restante calculée par la deuxième IPP, ce qui fausse l'expression littérale finale.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Protégez systématiquement vos calculs en utilisant crochets ou des parenthèses barrières des larges. Lorsque vous développez la deuxième IPP de la question 5-c, laissez le signe « moins » en dehors et ouvrez un grand crochet : $-\left[ \text{IPP 2} \right]$. Développez l'intérieur, puis distribuez calmement le signe négatif à la toute dernière étape.

❌ Piège 3 : Confusion de limite sur les termes $a^2(\ln a)^2$ quand $a \to 0$

Affirmer à la question 5-d que $\lim_{a \to 0} a^2(\ln a)^2 = 0 \times (-\infty) = \text{FI}$, bloquant ainsi la conclusion géométrique sur la convergence de l'aire totale sous la courbe lorsque la borne inférieure tend vers l'origine.

💡 Le Conseil de l'Expert AltiMath :

Faites jouer les propriétés des exposants pour faire apparaître la croissance comparée standard du cours : $a^2(\ln a)^2 = (a \ln a)^2$. Puisque $\lim_{a \to 0} a \ln a = 0$, la limite de son carré s'annule instantanément ($0^2 = 0$). Seul le terme constant $\frac{1}{4}$ subsiste, validant l'exactitude de la convergence.