0

Statistiques 3AC : Cours, Résumé et Exercices Corrigés (Examen Régional) | AltiMath

Le chapitre des Statistiques constitue une étape majeure du programme de mathématiques. Conformément aux orientations pédagogiques, ce cours permet de transformer des données brutes en informations exploitables. Il s'inscrit dans une suite logique avec les chapitres de Fonctions pour l'analyse graphique, et prépare les bases indispensables pour les Suites Numériques au lycée.


Statistiques 3AC BIOF : Cours, Résumé et Exercices Corrigés - AltiMath Prof Jamal

🎯 Objectifs et Compétences Cibles :

À travers ce guide, nous mettons l'accent sur la maîtrise des caractéristiques de position (Moyenne, Mode, Médiane) et les caractéristiques de dispersion (Étendue). L'objectif est de préparer efficacement l'élève à l'exercice de statistiques de l'Examen Régional, souvent considéré comme une opportunité majeure pour maximiser sa note.

Sommaire des compétences :

✅ Effectifs et Fréquences : Construction de tableaux.
✅ Indicateurs de position : Moyenne et Médiane.
✅ Représentation graphique : Diagrammes en bâtons et circulaires.
📊 Traitement de l'information : Savoir organiser des données dans un tableau d'effectifs et de fréquences.
📍 Valeurs de Position : Comprendre la différence cruciale entre la Moyenne arithmétique et la Médiane.

💡 Remarque (L'œil du Prof) : L'exercice de statistiques est un 'cadeau' au Régional, à condition de maîtriser la colonne de l'effectif cumulé. Soyez particulièrement rigoureux dans le calcul de la médiane, car c'est là que se fait la différence entre un bon élève et un élève excellent.

3ème Année Collège (3AC) - BIOF

Statistiques : Maîtriser l'Analyse des Données

Apprenez à calculer le Mode, la Moyenne et la Médiane pour réussir votre examen régional.

Examen Régional : Un guide complet avec exercices corrigés et astuces méthodologiques.

I. Vocabulaire Statistique et Tableaux

1. Les définitions fondamentales

Pour aborder une étude statistique en 3AC, il est nécessaire de maîtriser quatre termes essentiels :

  • 1 Population statistique : L'ensemble du groupe étudié (Ex: les élèves d'une classe).
  • 2 Caractère : La propriété que l'on observe sur les individus (Ex: les notes de l'examen). Le caractère peut être quantitatif (des nombres) ou qualitatif (des mots).
  • 3 Effectif ($n_i$) : Le nombre d'individus qui possèdent la même valeur du caractère.
  • 4 Effectif total ($N$) : Le nombre total d'individus de la population étudiée. C'est la somme de tous les effectifs.

2. Les types des séries statistiques

Selon la nature et la quantité des données collectées, on distingue deux types fondamentaux de séries statistiques en 3AC :

📈 Série Discrète (En valeurs)
On l'utilise si le nombre des valeurs est petit.

📍 Méthode : On range simplement les données isolées dans l'ordre croissant (Ex: des notes : 8 ; 10 ; 14).
📊 Série Continue (En classes)
On l'utilise si le nombre des valeurs est très élevé.

📍 Méthode : On regroupe les données dans des intervalles appelés classes de même amplitude notées :
$a \leqslant x \leqslant b$

le centre de classe (le milieu de l'intervalle) en appliquant la formule : $C = \frac{a + b}{2}$. C'est ce centre qui sera multiplié par l'effectif.

3. Qu'est-ce que l'effectif cumulé ?

L'effectif cumulé associé à une valeur du caractère est la somme de l'effectif de cette valeur et de tous les effectifs des valeurs précédentes.

4. Application pratique : Le tableau de données

Voici comment organiser une série de notes récoltées lors d'un contrôle :

Notes
(Caractère $x_i$)		 8 10 12 15
Effectif
($n_i$)		 2 4 3 1
Effectif
Cumulé		 2 6 (2+4) 9 (6+3) 10 (N)

↔️ Glissez horizontalement pour voir l'ensemble du tableau.

💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Une astuce imparable pour vos élèves le jour de l'examen régional : la toute dernière case de la ligne des effectifs cumulés doit obligatoirement être égale à l'effectif total ($N$) de la série. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a une erreur d'addition en chemin !

II. Caractéristiques de Position

1. Le Mode d'une série statistique

Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif .

Exemple (Réf. Tableau Partie I) :
 Le plus grand effectif est $4$. Il correspond à la note $10$.
Le mode de cette série est donc : 10.

2. La Moyenne arithmétique ($M$)

Définition : La moyenne arithmétique est le rapport de la somme de tous les produit de chaque valeur (centre de classe) par son effectif sur l’effectif total, on la note $M$.

$M = \frac{(x_1 \times n_1) + (x_2 \times n_2) + \dots + (x_k \times n_k)}{N}$

Application : Moyenne d'une série Série Discrète (En valeurs)

Calcul appliqué à notre exemple :
$M = \frac{(8 \times 2) + (10 \times 4) + (12 \times 3) + (15 \times 1)}{10}$
$M = \frac{16 + 40 + 36 + 15}{10} = \frac{107}{10} = \mathbf{10,7}$

💡 Remarque (Série Continue (En classes)) : Pour calculer la Moyenne arithmétique d'une série continue (en classes), vous ne pouvez pas multiplier directement par l'intervalle. Vous devez d'abord déterminer le centre de classe.

Application : Moyenne d'une série continue (en classes)

Pour calculer la moyenne arithmétique d'une série en classes, on doit d'abord déterminer le centre de chaque classe ($c_i$) en utilisant la formule : $\frac{a+b}{2}$.

Classes
[a ; b[		 $0 \leqslant x < 4$ $4 \leqslant x < 8$ $8 \leqslant x < 12$
Centre ($c_i$)
$\frac{a+b}{2}$		 2 $\frac{0+4}{2}$ 6 $\frac{4+8}{2}$ 10 $\frac{8+12}{2}$
Effectif ($n_i$) 5 12 3

• L'effectif total est : $N = 5 + 12 + 3 = \mathbf{20}$.

Calcul de la Moyenne ($M$) :
$M = \frac{(Centre_1 \times n_1) + (Centre_2 \times n_2) + (Centre_3 \times n_3)}{N}$
$M = \frac{(2 \times 5) + (6 \times 12) + (10 \times 3)}{20}$
$M = \frac{10 + 72 + 30}{20} = \frac{112}{20}$
$M = \mathbf{5,6}$

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Une erreur classique à l'Examen Régional consiste à multiplier l'effectif par les bornes de la classe (par exemple $0 \times 5$ ou $4 \times 5$). Retenez bien la règle : on multiplie toujours par le centre de la classe. Ajoutez cette ligne intermédiaire au brouillon pour sécuriser vos points !

3. La Médiane d'une série statistique

La médiane est une valeur du caractère qui partage la série en deux parties de même effectif.

Exemple 1: Le tableau de données

Voici comment organiser une série de notes récoltées lors d'un contrôle :

Notes
(Caractère $x_i$)		 8 10 12 15
Effectif
($n_i$)		 2 4 3 1
Effectif
Cumulé		 2 6 (2+4) 9 (6+3) 10 (N)
🛠️ Méthode rigoureuse en 3 étapes :
  1. Étape 1 : Calculer la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2}$.
    Dans notre exemple : $\frac{10}{2} = \mathbf{5}$.
  2. Étape 2 : Chercher dans la ligne des effectifs cumulés la plus petite valeur supérieure ou égale à $\frac{N}{2}$.
    L'effectif cumulé immédiatement supérieur ou égal à $5$ est 6.
  3. Étape 3 : La médiane est la valeur du caractère associée à cet effectif cumulé.
    L'effectif cumulé 6 correspond à la note 10. La médiane est donc 10.

Exemple 2: Nombre d'absences des ouvriers

Données brutes :

3 ; $\quad$ 1 ; $\quad $ 2 ;$\quad$ $\mathbf{0}$ ; $\quad$ 4 ; 2 $\quad$ ; $\quad$ 3


L'effectif total est $N = 7$ (le nombre de jours observés). $7$ est un nombre impair.
Étape 1 : Ranger la série dans l'ordre croissant

0 ; $\quad$ 1 ; $\quad $ 2 ; $\quad$ $\mathbf{2}$ ; $\quad$ 3 ; $\quad$ 3 ; $\quad$ 4

Étape 2 : Calculer la position de la médiane

On calcule la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2} = \frac{7}{2} = \mathbf{3,5}$.

Étape 3 : Déterminer la valeur de la médiane

Le premier entier supérieur à $3,5$ est $4$. La médiane est donc la $4^{\text{ème}}$ valeur de la série ordonnée.
En regardant la série : la $4^{\text{ème}}$ valeur est 2.

Conclusion : La valeur médiane de cette série est 2 absences.

💡 Interprétation : Cela signifie qu'il y a autant de jours (3 jours) où le nombre d'absences est inférieur ou égal à 2, que de jours où il est supérieur ou égal à 2.

Exemple 3: Nombre d'absences sur 8 jours

Série ordonnée :

0 ; $\quad$ 1 ; $\quad $ 1 ; $\quad$ $\mathbf{2}$ ; $\quad$ 3 ; $\quad$ 4 ; $\quad$ 4 ; $\quad$ 5


L'effectif total est $N = 8$ (le nombre de jours). $8$ est un nombre pair.
Étape 1 : Calculer la position des valeurs centrales

On divise l'effectif total par 2 : $\frac{N}{2} = \frac{8}{2} = \mathbf{4}$.
La médiane se situe donc entre la $4^{\text{ème}}$ et la $5^{\text{ème}}$ valeur de la série.

Étape 2 : Repérer les valeurs correspondantes

• La $4^{\text{ème}}$ valeur de la série est : 2.
• La $5^{\text{ème}}$ valeur de la série est : 3.

Étape 3 : Calculer la demi-somme (Moyenne)

La médiane est la moyenne arithmétique de ces deux valeurs centrales :

$\text{Médiane} = \frac{2 + 3}{2} = \mathbf{2,5}$

💡 Interprétation : Cela signifie que pendant la moitié des jours (4 jours), le nombre d'absences est inférieur ou égal à 2,5 (donc 0, 1 ou 2), et pendant l'autre moitié des jours, il est supérieur ou égal à 2,5 (donc 3, 4 ou 5).

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Attention au piège classique lors du calcul de la médiane ! À l'étape 3, l'erreur la plus fréquente commise par les élèves au Régional est de confondre l'effectif cumulé avec la valeur du caractère. Rappelez-vous bien : la médiane est une note (ligne du haut), ce n'est jamais un effectif !

📝 Exercice d'application : Caractéristiques de Position

1 Aplication

Une enquête a été réalisée auprès d'un groupe d'élèves de 3AC concernant le nombre d'heures passées sur Internet par semaine. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Nombre d'heures ($x_i$) 2 4 5 8
Effectif ($n_i$) 3 5 8 4
  1. Ajouter la ligne des effectifs cumulés croissants au tableau.
  2. Déterminer le mode de cette série statistique.
  3. Calculer la moyenne arithmétique de cette série.
  4. Déterminer la médiane de cette série en justifiant votre réponse.
👁️ Afficher la Correction Détaillée
1. Tableau avec les effectifs cumulés :
Caractère ($x_i$) 2 4 5 8
Effectif ($n_i$) 3 5 8 4
Effectif Cumulé 3 8 (3+5) 16 (8+8) 20 (N)
2. Détermination du Mode :

Le plus grand effectif est 8. La valeur du caractère associée est 5. Donc, le mode de cette série est 5 heures.

3. Calcul de la Moyenne ($M$) :

$M = \frac{(2 \times 3) + (4 \times 5) + (5 \times 8) + (8 \times 4)}{20}$
$M = \frac{6 + 20 + 40 + 32}{20} = \frac{98}{20} = \mathbf{4,9}$
La moyenne est de 4,9 heures par élève.

4. Détermination de la Médiane :

• On calcule d'abord la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2} = \frac{20}{2} = \mathbf{10}$.
• Le plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à $10$ est 16.
• La valeur du caractère correspondante est 5.
Conclusion : La valeur médiane de cette série statistique est 5.

2 Aplication

Énoncé :

Une enquête a été menée auprès de 25 élèves d'une classe de 3AC concernant le nombre d'heures passées sur internet par semaine. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

Nombre d'heures ($x_i$) 2 5 8 12
Effectif ($n_i$) 5 8 9 3

Questions :

  1. Recopier le tableau et compléter la ligne des effectifs cumulés.
  2. Déterminer le mode de cette série statistique.
  3. Calculer la moyenne arithmétique.
  4. Déterminer la médiane de la série (justifier la réponse).
💡 Solution : Questions 1 & 2 (Effectifs cumulés & Mode)

1) Ligne des effectifs cumulés :

  • Pour $x=2 \rightarrow N_1 = \mathbf{5}$
  • Pour $x=5 \rightarrow N_2 = 5 + 8 = \mathbf{13}$
  • Pour $x=8 \rightarrow N_3 = 13 + 9 = \mathbf{22}$
  • Pour $x=12 \rightarrow N_4 = 22 + 3 = \mathbf{25}$ (Effectif total $N=25$).

2) Détermination du Mode :

Le plus grand effectif est 9. La valeur du caractère associée est 8.
Donc, le mode de cette série est 8 heures.

💡 Solution : Questions 3 & 4 (Moyenne & Médiane)

3) Calcul de la Moyenne arithmétique ($M$) :

$M = \frac{(2 \times 5) + (5 \times 8) + (8 \times 9) + (12 \times 3)}{25} = \frac{10 + 40 + 72 + 36}{25} = \frac{158}{25} = \mathbf{6,32}$

4) Détermination de la Médiane :

  • On calcule d'abord la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2} = \frac{25}{2} = \mathbf{12,5}$.
  • Le plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à $12,5$ est 13.
  • L'effectif cumulé 13 correspond à la valeur **5**.

Conclusion : La valeur médiane de cette série est 5 heures.

III. Caractéristiques de Dispersion

1. L'Étendue d'une série statistique

L'étendue est la caractéristique de dispersion la plus simple. Elle mesure l'écart global d'une série statistique.

Propriété fondamentale :

Étendue = (Valeur Maximale) - (Valeur Minimale)

2. Exemple 1 d'application concret

Reprenons la série des notes de mathématiques de la Partie I (Notes : 8 ; 10 ; 12 ; 15) :

  • La plus grande note de la série (Valeur maximale) est : 15.
  • La plus petite note de la série (Valeur minimale) est : 8.
  • L'étendue de cette série est donc : $15 - 8 = \mathbf{7}$.

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Attention au piège récurrent à l'Examen Régional ! L'étendue se calcule uniquement à l'aide des valeurs du caractère (ligne du haut). Ne faites jamais la soustraction entre le plus grand effectif et le plus petit effectif (ligne du bas). C'est une erreur classique qui annule les points de la question !

IV. Représentations Graphiques

Les représentations graphiques permettent de visualiser immédiatement la répartition d'une population. En 3AC le choix du graphique dépend de la nature de la série étudiée. À l'Examen Régional, trois types de représentations graphiques sont incontournables :

1. Le Diagramme en bâtons (Caractère discret)

Il est utilisé pour les séries statistiques discrètes (valeurs isolées).
• Sur l'axe des abscisses ($x$) : On place les valeurs du caractère.
• Sur l'axe des ordonnées ($y$) : On place les effectifs (ou les fréquences).
La hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif de la valeur.

2. L'Histogramme (Caractère continu)

Il est réservé exclusivement aux séries statistiques continues (regroupées en classes).
Il est constitué de rectangles adjacents (collés les uns aux autres) dont la largeur correspond à l'amplitude de la classe et la hauteur est proportionnelle à l'effectif.

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Ne confondez pas le diagramme en bâtons et l'histogramme ! Les bâtons sont de simples lignes séparées pour les valeurs isolées ($8 ; 10 ; 12$). L'histogramme est formé de larges blocs rectangulaires accolés qui traduisent la continuité de la classe ($[0 ; 4[, [4 ; 8[$). C’est un détail graphique capital sur votre copie régionale !

3. Le Diagramme circulaire (ou semi-circulaire)

Il permet de représenter la contribution de chaque secteur par rapport au total (souvent en pourcentage).
Pour trouver l'angle au centre ($\alpha$) en degrés de chaque secteur, on utilise la formule de proportionnalité :

$\alpha = \text{Fréquence} \times 360^{\circ} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif Total}} \times 360^{\circ}$

Application : Le Diagramme Circulaire

Pour représenter une série statistique dans un diagramme circulaire, on doit calculer l'angle au centre ($\alpha$) de chaque secteur en utilisant la formule de proportionnalité : $\alpha = \frac{n_i \times 360^{\circ}}{N}$.

Activité préférée Sport Lecture Jeux Vidéo Total
Effectif ($n_i$) 10 5 5 N = 20
Angle ($\alpha$) 180° $\frac{10 \times 360}{20}$ 90° $\frac{5 \times 360}{20}$ 90° $\frac{5 \times 360}{20}$ 360°

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Une astuce indispensable pour l'Examen Régional : après avoir calculé tous vos angles, effectuez toujours la somme de vérification : $\mathbf{180^{\circ} + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ}}$. Si le total est différent de $360^{\circ}$, vous avez commis une erreur de calcul. C'est le moyen le plus sûr de valider votre tableau avant de tracer !

Exercices et Annales du Régional

⚠️ Les pièges récurrents à éviter

Au Régional, les erreurs ne viennent pas d'un manque de révision, mais d'un manque de vigilance. Voici les trois pièges majeurs :

Confondre f(x) et x :
Pour le Mode et la Médiane, la réponse finale doit TOUJOURS être une valeur de la ligne du haut (le caractère) et non un effectif.
Oublier l'Effectif Total :
Pour la Moyenne, la division se fait par l'effectif total $N$ (dernière case du cumulé) et non par le nombre de colonnes du tableau.
Calculer sans les centres :
Dans une série continue, multiplier l'effectif directement par l'intervalle est l'erreur fatale. Utilisez toujours le centre de classe.

📝 Exercice d'entraînement type (Série continue)

Énoncé :

Le tableau suivant donne la répartition des salaires (en dirhams) des employés d'une entreprise :

Salaire [a ; b[ [2000 ; 4000[ [4000 ; 6000[ [6000 ; 8000[
Effectif ($n_i$) 15 25 10

Question : Déterminer la classe contenant la médiane de cette série.

👁️ Afficher la correction détaillée
  1. Calcul de l'effectif total ($N$) : $N = 15 + 25 + 10 = \mathbf{50}$.
  2. Calcul de la moitié de l'effectif : $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = \mathbf{25}$.
  3. Calcul des effectifs cumulés : Les valeurs cumulées successives sont 15, puis 40 ($15+25$) et enfin 50.
  4. Déduction : Le premier effectif cumulé supérieur ou égal à 25 est 40. La classe correspondante est $[4000 \ ; \ 6000[$.
Conclusion : La classe médiane est $[4000 \ ; \ 6000[$.

💡 Remarque (L'œil du Prof) : Pour l'Examen Régional, rappelez-vous que le chapitre de la statistique est une opportunité idéale pour maximiser votre note globale. Ne vous précipitez pas lors des additions successives de la ligne des effectifs cumulés. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon, vérifiez chaque opération à l'aide de votre calculatrice, et la note maximale sera à votre portée !

Énoncé type Examen Régional

Lors d'un contrôle de mathématiques dans une classe de 3AC, les notes obtenues par les élèves ont été réparties dans le tableau ci-dessous. L'effectif total est $N = 40$.

Note ($x_i$) 6 9 12 15
Effectif ($n_i$) 8 $x$ 14 6
  1. Montrer que l'effectif manquant est $x = 12$.
  2. Déterminer le mode de cette série.
  3. Calculer la moyenne arithmétique du contrôle.
  4. Déterminer la note médiane (Justifier la réponse).

Solutions Méthodiques (Masquées / Affichables)

💡 Solution : Questions 1 & 2 (Effectif manquant & Mode)

1) Calcul de l'effectif manquant $x$ :

On sait que la somme de tous les effectifs est égale à l'effectif total ($N=40$).
$8 + x + 14 + 6 = 40 \implies 28 + x = 40 \implies x = 40 - 28 = \mathbf{12}$.

2) Détermination du Mode :

L'effectif le plus grand dans le tableau est 14. La valeur du caractère associée est 12.
Donc, le mode de cette série est 12.
💡 Solution : Questions 3 & 4 (Moyenne & Médiane)

3) Calcul de la Moyenne arithmétique ($M$) :

$M = \frac{(6 \times 8) + (9 \times 12) + (12 \times 14) + (15 \times 6)}{40} = \frac{48 + 108 + 168 + 90}{40} = \frac{414}{40} = \mathbf{10,35}$

4) Détermination de la note Médiane :

• Étape A : On calcule la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2} = \frac{40}{2} = \mathbf{20}$.
• Étape B : Ajoutons mentalement les effectifs cumulés :
   - Pour la note 6 : $8$
   - Pour la note 9 : $8 + 12 = \mathbf{20}$
• Étape C : Le plus petit effectif cumulé supérieur ou égal à $20$ est exactement 20. Il correspond à la note 9.

Conclusion : La valeur médiane est 9.

Les pièges classiques vus par l'expert

  • ⚠️ Le piège du cas $N$ pair pour la médiane : À la question 4, la moitié de l'effectif total tombe pile sur l'effectif cumulé $20$. Beaucoup d'élèves s'arrêtent là et donnent la note 9. Techniquement, comme $N$ est pair, la médiane se situe entre la $20^{\text{ème}}$ note (qui est un 9) et la $21^{\text{ème}}$ note (qui est un 12). Cependant, dans le cadre du barème de l'examen régional de la 3AC, la valeur associée à l'effectif cumulé égal ou immédiatement supérieur est pleinement acceptée.
  • ⚠️ Confondre l'effectif et le caractère : Ne répondez jamais que la moyenne ou le mode est égal à un nombre d'élèves (ligne du bas). La réponse est toujours une note (ligne du haut).

💡 Remarque (Le mot de Prof. Jamal) : L'exercice de statistiques est une opportunité en or au Régional. Maîtrisez la construction de la ligne des effectifs cumulés au brouillon, utilisez votre calculatrice pour la moyenne, et lisez attentivement chaque intitulé. Les 3 points sont à vous !

📚 Séries d'Exercices : Statistiques (3AC BIOF)

Choisissez votre niveau de difficulté

Application Directe du Cours

Maîtrisez: Vocabulaire de base, calcul des effectifs cumulés, du Mode et de la Moyenne arithmétique.

Télécharger PDF (Base)
"Chaque série contient des exercices sélectionnés avec soin par Prof. Jamal (18 ans d'expertise) pour vous garantir une préparation optimale à l'Examen Régional."

You may like these posts

Commentaires
    Prof. Jamal

    Prof. Jamal Benachim

    Expert Pédagogique - 18 ans d'expérience

    Bienvenue sur AltiMath. En tant qu'enseignant spécialisé dans le cycle collégial et secondaire, je mets à votre disposition plus de 18 ans d'expertise pour simplifier les concepts d'Algèbre, Géométrie et Analyse. Mon objectif est de vous transmettre les compétences nécessaires pour exceller aux examens nationaux via une approche pédagogique moderne axée sur la compréhension profonde.

    "Les mathématiques sont une compréhension, pas seulement des chiffres."

    En savoir plus sur mon parcours