Fonctions Linéaires et Affines
Apprenez à modéliser des situations réelles et à maîtriser la représentation graphique de la proportionnalité.
I. Fonction Linéaire
1. Définition et Proportionnalité
Soit $a$ un nombre réel donné. La relation qui à chaque nombre réel $x$, associe le nombre $ax$ est appelée fonction linéaire de coefficient $a$.
Lien avec le quotidien : Une fonction linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité. Par exemple, si le prix d'un kg de pommes est 12 DH, le prix total est $f(x) = 12x$.
2. Déterminer le coefficient $a$
Pour calculer le coefficient $a$ d'une fonction linéaire, il suffit de connaître l'image d'un seul nombre (non nul) $x$ :
Exemple type Examen :
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(5) = 10$. Calculons son coefficient $a$.
$a = \frac{f(5)}{5} = \frac{10}{5} = \mathbf{2}$.
L'expression de la fonction est donc : $f(x) = 2x$.
Exemple Flash
Soit $f$ une fonction linéaire telle que $f(3) = 12$. Trouvons son coefficient :
$a = \frac{f(3)}{3} = \frac{12}{3} = \mathbf{4}$
Conclusion : $f(x) = 4x$
💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Une fonction linéaire est le cas particulier d'une droite qui passe par l'origine. Retenez bien que $f(0)$ est toujours égal à $0$. Si vous trouvez un autre résultat, c'est que la fonction n'est pas linéaire !
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Retenez que le coefficient 'a' d'une fonction est l'équivalent du coefficient directeur d'une droite. Cette cohérence entre les chapitres est votre plus grand atout pour réussir les épreuves de mathématiques avec brio.
II. Représentation Graphique de Fonction Linéaire
1 Nature de la représentation
La représentation graphique d'une fonction linéaire $f(x) = ax$ est une droite qui passe impérativement par l'origine du repère $O(0,0)$.
2 Méthode pour tracer la droite
Pour tracer la droite associée à $f(x) = ax$, suivez ces étapes :
- Étape 1 : On sait que la droite passe par $O(0 ; 0)$.
- Étape 2 : On choisit une valeur pour $x$ (ex: $x=1$ ou $x=2$) et on calcule son image $f(x)$.
- Étape 3 : On place le point $M(x ; f(x))$ dans le repère.
- Étape 4 : On trace la droite passant par $O$ et $M$.
Traçons la droite représentative de $f(x) = 2x$.
• Si $x = 1$, alors $f(1) = 2 \times 1 = 2$.
• La droite passe par $O(0;0)$ et par le point $M(1 ; 2)$.
💡 Remarque (L'expertise de Prof) : Pour un tracé plus précis, évitez de choisir des valeurs de $x$ trop proches de $0$. Si votre coefficient $a$ est une fraction (ex: $1/3$), choisissez $x=3$ pour simplifier le calcul et obtenir un nombre entier : $f(3) = 1$. C'est ce genre de détails qui évite les erreurs au Régional.
III. Fonction Affine
1 Définition et Forme Générale
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés. La relation qui à chaque nombre $x$, associe le nombre $ax + b$ est appelée fonction affine.
- 🔹 $a$ est le coefficient de la fonction.
- 🔹 $b$ est l'ordonnée à l'origine.
2 Calcul du coefficient 'a'
Pour calculer $a$, on utilise les images de deux nombres distincts $x_1$ et $x_2$ :
3 Détermination de l'ordonnée à l'origine 'b'
Une fois $a$ trouvé, on utilise l'image d'un point connu pour résoudre l'équation et trouver $b$ :
✏️ Exemple d'examen
Soit $f$ une fonction affine telle que $f(1) = 5$ et $f(2) = 7$.
- Étape 1 (Calcul de a) : $a = \frac{7 - 5}{2 - 1} = \frac{2}{1} = \mathbf{2}$
- Étape 2 (Calcul de b) : On a $f(1)=5 \implies 2(1) + b = 5 \implies b = 5 - 2 = \mathbf{3}$
- Conclusion : $f(x) = 2x + 3$
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Ne confondez pas ! Dans une fonction linéaire, $b=0$. La fonction affine est plus générale.
Lors du calcul le coefficient $'a'$, peu importe l'ordre des points, tant que vous gardez le même en haut et en bas. Si vous commencez par $f(x_1)$ au numérateur, vous devez commencer par $x_1$ au dénominateur.
IV. Représentation Graphique de Fonction Affine
1 Nature de la représentation
La représentation graphique d'une fonction affine $f(x) = ax + b$ est une droite qui coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0 ; b)$.
2 Comment tracer la droite ?
Puisque la droite ne passe pas par l'origine, nous avons besoin de deux points distincts. On utilise souvent un petit tableau de valeurs :
| $x$ | $0$ | $x_1$ |
| $f(x)$ | $b$ | $f(x_1)$ |
• Si $x = 0$, alors $f(0) = -1$. La droite passe par $A(0 ; -1)$.
• Si $x = 2$, alors $f(2) = 2(2) - 1 = 3$. La droite passe par $B(2 ; 3)$.
💡 Remarque (L'œil de l'Expert) :
Une erreur courante est de placer le point $b$ sur l'axe des abscisses. Rappelez-vous que $b$ est l'ordonnée à l'origine.
Vérification rapide : Si votre coefficient $a$ est positif, votre droite doit "monter" de la gauche vers la droite. C'est un excellent moyen de vérifier votre tracé en un coup d'œil lors du Régional.
3 Méthode pour tracer la droite
Pour tracer cette droite, on utilise un tableau de valeurs pour déterminer deux points :
• Si $x = 0$, alors $f(0) = -2$. La droite passe par $A(0 ; -2)$.
• Si $x = 2$, alors $f(2) = 2(2) - 2 = 2$. La droite passe par $B(2 ; 2)$.
📍 $f(0) = 2(0)-2 = -2 \implies A(0, -2)$
📍 $f(2) = 2(2)-2 = 2 \implies B(2, 2)$
V. Exercices et Annales du Régional
🚫 Évitez ces erreurs courantes :
Calculer l'image signifie remplacer $x$ par le nombre. Trouver l'antécédent signifie résoudre l'équation $f(x) = k$.
Rappel : Image de 3 $\to f(3)$. Antécédent de 3 $\to f(x) = 3$.
Pour une fonction affine, n'oubliez pas de soustraire les images ET les antécédents.
Correct : $a = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$. Ne mélangez pas l'ordre des nombres !
Tracer une fonction affine en la faisant passer par $O(0,0)$ est une erreur grave.
Note : Seule la fonction linéaire passe par l'origine.
Placer les images sur l'axe des abscisses et les antécédents sur l'axe des ordonnées.
💡 Conseils stratégiques pour l'Examen :
- ✅ Vérification immédiate : Une fois que vous avez trouvé $f(x) = ax+b$, vérifiez avec l'une des données de l'énoncé pour voir si le calcul est juste.
- ✅ Précision graphique : Utilisez une règle et taillez bien votre crayon. Un décalage d'un millimètre peut fausser la lecture d'une image graphiquement.
- ✅ Justification : Ne donnez pas de résultat brut. Écrivez toujours : "On sait que $f$ est une fonction affine, donc son coefficient est..."
Vérifiez toujours si $f(0)=b$. C'est le moyen le plus rapide de valider votre expression de fonction affine.
Soignez votre tracé. Une droite tracée avec deux points éloignés l'un de l'autre est toujours plus précise.
💡 Remarque ( Le mot du Prof) : Chers élèves, l'exercice des fonctions est souvent lié à un problème concret (facture, distance, temps). Lisez bien l'énoncé pour identifier quelle partie est fixe (b) et quelle partie varie (ax). La logique est votre meilleure alliée !
Exercice de Synthèse (Modèle Examen 2025)
l'Examen Régional: de Rabat-Salé-Kénitra 2025
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère les points $A(-1 ; 4)$ et $B(3 ; -4)$.
La droite $(EF)$ est représentée graphiquement.
- a. Donner les coordonnées de chacun des points $E$ et $F$.
b. Calculer la distance $AB$.
c. Montrer que $I$ est le milieu de $[AB]$. - Montrer que l'équation réduite de la droite $(AB)$ est : $y = -2x + 2$.
- Déterminer l'équation de $(L)$ passant par $E$ et parallèle à $(AB)$.
- Vérifier que le coefficient directeur de la droite $(IF)$ est $1/2$.
- Déduire que $(EF)$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
Solution Détaillée
1. Coordonnées, Distance et Milieu
• Distance AB : $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{16 + 64} = \mathbf{\sqrt{80} = 4\sqrt{5}}$.
• Milieu I : $x_I = \frac{-1+3}{2} = 1$ et $y_I = \frac{4-4}{2} = 0$. Donc $\mathbf{I(1 ; 0)}$.
2. Équation de la droite (AB)
• Ordonnée à l'origine : $4 = -2(-1) + b \implies b = 4 - 2 = \mathbf{2}$.
Conclusion : $\mathbf{(AB) : y = -2x + 2}$.
5. Démonstration de la Médiatrice
• Produit des pentes : $\frac{1}{2} \times (-2) = \mathbf{-1} \implies (EF) \perp (AB)$.
• Comme $(EF)$ passe par le milieu $I$ de $[AB]$ et lui est perpendiculaire, alors $\mathbf{(EF)}$ est la médiatrice de $[AB]$.
