I. Définition et Cas particuliers
1 . L'équation réduite d'une droite
Dans un repère, toute droite $(D)$ non parallèle à l'axe des ordonnées possède une équation réduite de la forme :
- 🔸 $a$ est appelé le coefficient directeur (ou la pente) . Il détermine l'inclinaison de la droite.
- 🔸 $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine . C'est la valeur de $y$ quand la droite coupe l'axe $(Oy)$.
2. Analyse des Cas Particuliers
Dans ce cas, la pente est nulle ($a = 0$). Quel que soit l'abscisse $x$, l'ordonnée reste constante.
Propriété : Elle est toujours parallèle à l'axe des abscisses (Ox).
Ici, toutes les points ont la même abscisse $c$. Cette droite n'a pas de pente définie (division par zéro).
Propriété : Elle est toujours parallèle à l'axe des ordonnées (Oy).
L'ordonnée à l'origine est nulle ($b = 0$). Cela correspond graphiquement à une fonction linéaire.
Propriété : Elle passe impérativement par le point O(0 ; 0).
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Attention au piège ! L'ordonnée à l'origine $b$ correspond au point où la droite coupe l'axe des ordonnées ($y$). Si la droite passe par l'origine du repère $O(0,0)$, alors $b = 0$ et l'on retrouve la forme d'une fonction linéaire étudiée précédemment.
II. Détermination de l'équation d'une droite
Pour déterminer l'équation réduite d'une droite $(D) : y = ax + b$ passant par deux points distincts $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$, on suit deux étapes clés :
1 Calcul du coefficient directeur $a$
Le coefficient directeur (la pente) est donné par la formule :
2 Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$
Une fois $a$ trouvé, on utilise les coordonnées de l'un des points (soit $A$, soit $B$) car ils appartiennent à la droite :
3 Droite définie par sa pente et un point
Si la pente $a$ est déjà donnée dans l'énoncé, il suffit d'appliquer directement l'étape précédente avec le point fourni.
Exemple de rédaction
Trouvons l'équation de $(D)$ passant par $A(1 ; 2)$ et $B(2 ; 5)$ :
- Étape 1 (Calcul de a) : $a = \frac{5 - 2}{2 - 1} = \frac{3}{1} = \mathbf{3}$
- Étape 2 (Calcul de b) : On a $y = 3x + b$. Pour $A(1;2) : 2 = 3(1) + b \implies b = 2 - 3 = \mathbf{-1}$
- Conclusion : $(D) : \mathbf{y = 3x - 1}$
Exemple type (Régional)
Soient $A(1 ; 3)$ et $B(3 ; 7)$. Trouvons l'équation de $(AB)$ :
- Calcul de $a$ : $a = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$
- Calcul de $b$ : $3 = 2(1) + b \implies 3 - 2 = b \implies \mathbf{b = 1}$
- Conclusion : L'équation est $\mathbf{y = 2x + 1}$
💡 Remarque (L'astuce de Prof) :
Ne faites pas l'erreur classique d'inverser le numérateur et le dénominateur !
Rappelez-vous : "Les $y$ (ordonnées) sont en haut, les $x$ (abscisses) sont en bas".
Aussi, vérifiez toujours vos signes $(-)$ lors de la soustraction pour ne pas fausser tout le reste du problème.
III. Parallélisme et Orthogonalité
Soient deux droites $(D)$ et $(D')$ d'équations réduites respectives : $(D) : y = \mathbf{a}x + b$ $\quad$ et $\quad$ $(D') : y = \mathbf{a'}x + b'$
1 Condition de parallélisme
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
2 Condition d'orthogonalité (Perpendicularité)
Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
💡 Remarque (L'astuce de Prof) :
Au Régional, on vous donne souvent l'équation de $(D_1)$ et on vous demande de trouver celle de $(D_2)$ qui est perpendiculaire et passe par un point $A$.
Méthode : Trouvez d'abord $a_2$ en utilisant la règle du produit ($-1/a_1$), puis calculez $b_2$ comme nous l'avons appris à la section précédente. C'est un combo gagnant !
Vérification rapide
• Si $(D): y = \mathbf{2}x + 1$ et $(D'): y = \mathbf{2}x - 5 \implies$ elles sont parallèles.
• Si $(D): y = \mathbf{2}x + 1$ et $(D''): y = \mathbf{-0,5}x + 3 \implies$ elles sont perpendiculaires car $2 \times (-0,5) = -1$.
- Si $(D): y = \mathbf{3}x + 2$ et $(L): y = \mathbf{3}x - 4 \implies (D) \parallel (L)$ car ils ont la même pente $3$.
- Si $(D): y = \mathbf{2}x + 1$ et $(M): y = \mathbf{-0,5}x + 3 \implies (D) \perp (M)$ car $2 \times (-0,5) = -1$.
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Dans les exercices du Régional, pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, calculez toujours le produit $a \times a'$. Si vous obtenez -1, votre démonstration est faite ! Attention aux erreurs de signes lors de la multiplication.
Ex 1 Cas du Parallélisme
On considère la droite $(D)$ d'équation : $y = 3x - 5$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(\Delta)$ parallèle à $(D)$ et passant par le point $A(1 ; 2)$.
👁️ Afficher le Corrigé Méthodique
• L'équation devient : $y = 3x + b$.
• Pour trouver $b$, on utilise $A(1 ; 2)$ : $2 = 3(1) + b \implies b = 2 - 3 = \mathbf{-1}$.
• Résultat : $(\Delta) : y = 3x - 1$.
Ex 2 Cas de la Perpendicularité
Soit $(L)$ la droite d'équation : $y = -2x + 7$.
Trouver l'équation de la droite $(K)$ perpendiculaire à $(L)$ au point $B(4 ; -1)$.
👁️ Afficher le Corrigé Méthodique
• $a_K \times (-2) = -1 \implies a_K = \frac{-1}{-2} = \mathbf{0,5}$.
• L'équation de $(K)$ est : $y = 0,5x + b$.
• Pour trouver $b$, on utilise $B(4 ; -1)$ : $-1 = 0,5(4) + b \implies -1 = 2 + b \implies b = \mathbf{-3}$.
• Résultat : $(K) : y = 0,5x - 3$.
3 Application : Équation de la Médiatrice
Ex 1 Équation de la Médiatrice
Énoncé :
Soient les points $A(2 ; 4)$ et $B(6 ; 2)$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(\Delta)$, médiatrice du segment $[AB]$.
💡 Rappel : La médiatrice est perpendiculaire au segment en son milieu.
Remarque (L'avis de l'Expert) : Cet exercice est un classique du Régional car il combine trois notions : le coefficient directeur, l'orthogonalité et le milieu d'un segment. Maîtriser cette méthode garantit d'excellents points.
Ex 2 Équation de la Médiatrice
Énoncé du problème :
Soient les points $A(2 \ ; \ 1)$ et $B(4 \ ; \ 5)$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(\Delta)$, médiatrice du segment $[AB]$.
💡 Remarque (L'avis de l'Expert) : La question sur la médiatrice est un exercice de synthèse complet. Elle teste votre maîtrise de la perpendicularité et des coordonnées du milieu. Si vous comprenez parfaitement ce cheminement, vous êtes prêt à affronter n'importe quel exercice de géométrie analytique à l'Examen Régional !
IV. Exercices et Annales du Régional
🚫 Attention aux erreurs classiques !
L'erreur la plus fréquente est de mettre les $x$ au numérateur.
Rappel : $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$. Retenez : les ordonnées (y) sont toujours au-dessus !
Oublier la règle du "moins par moins" lors des calculs de $y_B - y_A$.
Exemple : Si $y_A = -3$ et $y_B = 5$, alors $y_B - y_A = 5 - (-3) = 8$. Utilisez des parenthèses !
Oublier de remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées d'un point appartenant à la droite pour trouver l'ordonnée à l'origine.
Certains élèves confondent les conditions de pente.
Parallèles : $a = a'$ | Perpendiculaires : $a \times a' = -1$. Ne les mélangez pas !
💡 Conseils de rédaction pour l'Examen :
- ✅ Citez toujours la propriété : Avant de calculer $a$, écrivez "Puisque $(D) \perp (\Delta)$, alors $a \times a' = -1$". Cela sécurise vos points.
- ✅ Vérifiez votre résultat : Une fois l'équation $y = ax + b$ trouvée, remplacez $x$ par les coordonnées d'un point pour voir si vous retrouvez le bon $y$.
- ✅ Soignez la présentation : Séparez clairement le calcul du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine.
Écrivez toujours la formule littérale avant de passer aux calculs numériques. Cela sécurise vos points.
Vérifiez la cohérence graphique. Si votre pente $a$ est positive, votre droite doit "monter" visuellement.
📌 L'avis de Prof. AltiMath :
1 Chers élèves, l'exercice sur l'équation d'une droite est souvent noté sur 3 ou 4 points au Régional. C'est une occasion en or pour booster votre note. Soyez attentifs aux calculs de fractions et soignez votre rédaction. Bon courage !
2 Chers élèves, l'exercice de géométrie analytique est un cadeau au Régional. Ne vous précipitez pas dans les calculs mentaux. Utilisez votre brouillon pour chaque étape et vérifiez vos signes. C'est la précision de votre rédaction qui fera la différence !
Exercice de Synthèse (Modèle Examen 2025)
l'Examen Régional: de la région de Draa-Tafilalet 2021
Énoncé du problème
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,I,J)$.
On considère les points : A(0 ; -2), B(3 ; -1) et C(2 ; 2).
- Placer les points A, B et C dans le repère.
- Déterminer les coordonnées de $\vec{AB}$ puis calculer la distance $AB$.
- Montrer que l'équation réduite de $(AB)$ est $y = \frac{1}{3}x - 2$.
- Montrer que l'équation réduite de $(\Delta)$ passant par $B$ et $\perp$ à $(AB)$ est $y = -3x + 8$.
- Déterminer l'équation de $(\Delta')$ passant par $C$ et $//$ à $(AB)$.
- Déterminer $D(x_D ; y_D)$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Solutions Détaillées
1 & 2) Vecteur et Distance AB
• Vecteur $\vec{AB}$ : $(x_B-x_A ; y_B-y_A) = (3-0 ; -1-(-2)) = \mathbf{(3 ; 1)}$.
• Distance $AB$ : $\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \mathbf{\sqrt{10}}$.
3) Équation réduite de (AB)
• Coefficient $a$ : $a = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{-1-(-2)}{3-0} = \mathbf{\frac{1}{3}}$.
• Ordonnée $b$ : $A(0;-2) \in (AB) \implies -2 = \frac{1}{3}(0) + b \implies \mathbf{b = -2}$.
$\implies (AB) : y = \frac{1}{3}x - 2$
4) Condition d'Orthogonalité (Δ)
$(\Delta) \perp (AB) \implies a_{\Delta} \times \frac{1}{3} = -1 \implies \mathbf{a_{\Delta} = -3}$.
Calcul de $b$ avec $B(3;-1)$ : $-1 = -3(3) + b \implies -1 = -9 + b \implies \mathbf{b = 8}$.
$\implies (\Delta) : y = -3x + 8$
5) Condition de Parallélisme (Δ')
$(\Delta') // (AB) \implies \mathbf{a_{\Delta'} = a_{AB} = \frac{1}{3}}$.
Calcul de $b$ avec $C(2;2)$ : $2 = \frac{1}{3}(2) + b \implies 2 = \frac{2}{3} + b \implies \mathbf{b = \frac{4}{3}}$.
$\implies (\Delta') : y = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
6) Coordonnées de D (Parallélogramme)
$ABCD$ est un parallélogramme $\iff \vec{AB} = \vec{DC}$.
$\vec{AB}(3 ; 1)$ et $\vec{DC}(2-x_D ; 2-y_D)$.
$\implies 2-x_D = 3 \implies \mathbf{x_D = -1}$
$\implies 2-y_D = 1 \implies \mathbf{y_D = 1}$.
$\implies D(-1 ; 1)$
L'expertise de Prof. AltiMath : Ce problème regroupe 90% des questions classiques du Régional. Maîtriser cette rédaction vous assure une excellente note.
