I. Rappels et Compléments sur les Limites
1. Les types de repères du plan
Un repère du plan est constitué de deux droites graduées (axes) ayant la même origine $O$.
Repère Orthogonal
Les deux axes sont perpendiculaires en $O$. Les unités de graduation peuvent être différentes.
Repère Orthonormé
Les axes sont perpendiculaires ET les unités sont identiques ($OI = OJ = 1$). C'est le repère utilisé pour calculer des distances.
2. Coordonnées d'un point $M$ dans le plan
Chaque point $M$ du plan est repéré par un couple unique de nombres réels $(x_M ; y_M)$ appelé coordonnées :
- 🔹 $x_M$ est l'abscisse de $M$ (lu sur l'axe horizontal).
- 🔹 $y_M$ est l'ordonnée de $M$ (lu sur l'axe vertical).
- L'origine du repère : $O(0 \ ; \ 0)$
- Le point unitaire des abscisses : $I(1 \ ; \ 0)$
- Le point unitaire des ordonnées : $J(0 \ ; \ 1)$
💡 Remarque (Note Méthodologique) :
Ne confondez jamais l'ordre ! L'abscisse (x) vient toujours avant l'ordonnée (y).
Rappelez-vous : Un point situé sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle ($y=0$), et un point sur l'axe des ordonnées a une abscisse nulle ($x=0$). C'est une question classique des contrôles de 3AC.
💡 Le Conseil de Prof. Jamal :
L'erreur la plus fréquente en 3AC est d'inverser l'abscisse et l'ordonnée. Souvenez-vous de l'ordre alphabétique : Abscisse vient avant Ordonnée, tout comme $x$ vient avant $y$.
II. Coordonnées du Milieu d'un Segment
La formule fondamentale
Soit $[AB]$ un segment avec $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$. Si $M$ est le milieu du segment $[AB]$, alors ses coordonnées sont la moyenne arithmétique (demi-somme) des coordonnées des extrémités :
Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$ avec $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ :
📝 Exemple d'application 1 :
Si $A(2 ; 6)$ et $B(4 ; -2)$, alors le milieu $M$ a pour coordonnées :
• $x_M = \frac{2 + 4}{2} = \mathbf{3}$
• $y_M = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}$
Résultat : $M(3 ; 2)$
📝 Exemple d'application 2 :
Calculons les coordonnées de $I$ milieu de $[AB]$ avec $A(2 ; 4)$ et $B(6 ; 8)$.
• $x_I = \frac{2 + 6}{2} = \mathbf{4}$
• $y_I = \frac{4 + 8}{2} = \mathbf{6}$
Résultat : $I(4 \ ; \ 6)$
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Pour ne plus jamais confondre : le Milieu est le seul calcul où l'on fait une Addition (+).
Pourquoi ? Parce qu'on cherche la "moyenne" entre deux positions. Pour le vecteur et la distance, on cherche un "écart", donc on utilise la soustraction. Retenez bien ce petit truc, il vous sauvera des points au Régional !
III. Coordonnées d'un Vecteur dans le plan
1. Formule des coordonnées
Soient deux points $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ dans le plan. Les coordonnées (ou composantes) du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont données par la règle "Extrémité moins Origine" :
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Attention au piège des signes ! Si les coordonnées de $A$ sont négatives, la soustraction devient une addition.
Exemple : Si $x_B = 3$ et $x_A = -2$, alors l'abscisse du vecteur est $3 - (-2) = \mathbf{5}$. Ne vous précipitez pas, écrivez l'étape intermédiaire pour garantir vos points au Régional.
2. Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont respectives sont égales.
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff a = c \quad \text{et} \quad b = d $
Note : Cette propriété est très utile pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Soient $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$. Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB}(4 - 1 \ ; \ 6 - 2) \implies \mathbf{\overrightarrow{AB}(3 \ ; \ 4)}$.
3. Exercices Vecteurs & Égalité deux Vecteurs
💡 Remarque (Conseil de Prof) : Dans l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, faites attention à l'ordre des lettres pour le parallélogramme. C'est le piège classique du Régional !
IV. Les coordonnées de la somme (la différence) de deux vecteurs
1. Somme de deux vecteurs
Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs abscisses entre elles et leurs ordonnées entre elles.
Propriété :
Soient $\overrightarrow{AB}(a \ ; \ b)$ et $\overrightarrow{CD}(c \ ; \ d)$ deux vecteurs.
2. Différence de deux vecteurs
De la même manière, la différence de deux vecteurs s'obtient en soustrayant leurs coordonnées respectives.
💡 Remarque (L'expertise de Prof) :
Cette propriété est extrêmement utile pour vérifier vos constructions géométriques.
Attention : Veillez à bien respecter les signes. Si vous avez $\overrightarrow{AB}(2 ; 3)$ et $\overrightarrow{CD}(-5 ; 1)$, la somme est $(2 + (-5) \quad ; \quad 3 + 1)$, soit $(-3 \quad ; \quad 4)$. La gestion des nombres relatifs reste le point de vigilance n°1 en 3AC.
Si $ (\overrightarrow{AB}(3 \ ; \ -2)$ et $ \overrightarrow{CD}(1 \ ; \ 4)$ :
• $ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})(3 + 1 \ ; \ -2 + 4)$ $ \implies (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD})( 4 \ ; \ 2)$
• $ (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD})(3 - 1 \ ; \ -2 - 4)$ $ \implies (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD})(2 \ ; \ -6)$
💡 Remarque (L'astuce de Prof) : Ne mélangez jamais les $x$ et les $y$. L'abscisse reste avec l'abscisse, et l'ordonnée avec l'ordonnée. Soyez particulièrement vigilants avec les signes négatifs lors de la soustraction !
V. Les coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre réel
1. Propriété Algébrique
Multiplier un vecteur par un nombre réel revient à multiplier son abscisse et son ordonnée par ce même nombre.
Soit $\overrightarrow{AB}(x \ ; \ y)$ un vecteur et $k$ un nombre réel :
Si $\overrightarrow{EF}(4 \ ; \ -3)$ et $k = 2$ :
$2 \overrightarrow{EF}(2 \times 4 \ ; \ 2 \times (-3))$ $ \implies 2 \overrightarrow{EF}(8 \ ; \ -6)$
Si $k = -1$ (Vecteur opposé) :
$-\overrightarrow{GH} (-1 \times 4 \ ; \ -1 \times (-3))$ $ \implies -\overrightarrow{GH}(-4 \ ; \ 3)$
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Cette propriété est très utile pour démontrer que deux vecteurs sont colinéaires (ils ont la même direction). Si vous trouvez un nombre $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$, alors les droites supportant ces vecteurs sont parallèles !
VI. La distance entre deux points
1. Démonstration (Lien avec Pythagore)
Dans un repère orthonormé, considérons deux points $A$ et $B$. Si on construit un point $C$ pour former un triangle rectangle $ABC$, le segment $[AB]$ devient l'hypoténuse.
Dans le triangle rectangle, d'après Pythagore : $AB^2 = AC^2 + CB^2$.
Or, $AC = x_B - x_A $ et $CB = y_B - y_A $.
D'où : $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.
$AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$
$\implies AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
2. Définition : Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, si l'on considère deux points $A$ et $B$, le segment $[AB]$ forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés sont les différences de coordonnées :
Dans un repère orthonormé si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ alors:
💡 Remarque (Le Conseil de Prof) : Attention ! Cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé. Au Régional, n'oubliez pas d'élever les parenthèses au carré avant de faire la somme ; le résultat sous la racine doit toujours être positif !
Exemple 1 : Soit $A(1 ; 2)$ et $B(4 ; 6)$.
$AB = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$
$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = \mathbf{5}$
💡 Remarque (L'œil du Prof) :
Astuce : Calculez d'abord les coordonnées du vecteur $\vec{AB}(x ; y)$, puis appliquez $AB = \sqrt{x^2 + y^2}$. Cela réduit les risques d'erreurs de signes à l'intérieur de la racine !
VII. Exercices et Annales du Régional
🚫 1. Évitez ces erreurs classiques
Attention aux erreurs fatales !
- ❌ Inversion des coordonnées : Toujours $(x ; y)$ et jamais $(y ; x)$. L'abscisse est toujours en premier !
- ❌ Piège du signe moins (-) : Dans la formule $\vec{AB}(x_B - x_A)$, si $x_A = -2$, n'oubliez pas que $-(-2) = +2$.
- ❌ Confusion Milieu / Vecteur : Pour le milieu on fait une addition (+), pour le vecteur on fait une soustraction (-).
- ❌ Condition de la Distance : On ne peut appliquer $AB = \sqrt{...}$ que si le repère est orthonormé.
📝 2. Modèle d'Examen Régional
Énoncé :
Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$ et $C(2 ; 8)$.
1. Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
2. Déterminer les coordonnées de $M$ milieu de $[AC]$.
3. Calculer la distance $BC$.
4. Montrer que $\vec{AB} = \vec{DC}$ pour trouver $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
👁️ Voir la correction détaillée
2. Milieu M : $M(\frac{1+2}{2} ; \frac{2+8}{2}) \implies M(1.5 ; 5)$
3. Distance BC : $BC = \sqrt{(2-4)^2 + (8-6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
4. Point D : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \implies (3 ; 4) = (2-x_D ; 8-y_D)$. Donc $x_D = -1$ et $y_D = 4$.
On considère $E(2 ; -1)$ et $F(-2 ; 3)$.
- Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.
- Calculer la distance $EF$.
- Déterminer les coordonnées de $K$, milieu de $[EF]$.
👁️ Voir la correction détaillée
1. $\overrightarrow{EF}(-2-2 \quad ; \quad 3-(-1)) \implies \overrightarrow{EF}(-4 \quad ; \quad 4)$.
2. $EF = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = \mathbf{4\sqrt{2}}$.
3. $K(\frac{2-2}{2} \quad ; \quad \frac{-1+3}{2}) = \mathbf{(0 \quad ; \quad 1)}$.
