1.a. Calcul du produit vectoriel :
Les coordonnées des vecteurs sont : $\overrightarrow{AB}(-2, 2, 1)$ et $\overrightarrow{AC}(0, 1, 1)$.
$\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\overrightarrow{i} - \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\overrightarrow{j} + \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\overrightarrow{k} = (2-1)\overrightarrow{i} - (-2-0)\overrightarrow{j} + (-2-0)\overrightarrow{k}$.
D'où : $\mathbf{\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} - 2\overrightarrow{k}}$.

1.b) Déduisons que $x + 2y - 2z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$:

On a $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$, donc l'équation correspondante de $(ABC)$ s'écrit :

Or $A \in (ABC)$ donc : $x_A + 2y_A - 2z_A + d = 0$
Donc : $-1 + 2 \times 0 - 2 \times 1 + d = 0$
Donc : $d = 3$
Donc : $(ABC) : x + 2y - 2z + 3 = 0$

1.c) Calculons $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC})$ et déduisons que la droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $(ABC)$:

On a $\overrightarrow{u}(2, 1, 2)$ et $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}(1, 2, -2)$.

Donc $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 2 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times (-2) = 0$.

Puisque $\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 0$, le vecteur directeur de $(\Delta)$ est orthogonal au vecteur normal $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ du plan $(ABC)$.

2. Soit $(S)$ la sphère de centre $\Omega(0, 3, 0)$ est tangente à la droite $(\Delta)$.

Donc : $\overrightarrow{\Omega D} \cdot \overrightarrow{u} = 0$

Alors $R = 6$

2.b. Calculons $d(\Omega, (ABC))$ et déduisons que $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$, de rayon $r = 3\sqrt{3}$. :

On sait que :
$d(\Omega, (ABC)) = \frac{|x_{\Omega} + 2y_{\Omega} - 2z_{\Omega} + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|0 + 2 \times 3 - 2 \times 0 + 3|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$

Puisque $d = 3 < R = 6$, le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ suivant un cercle $(\Gamma)$.

Le rayon de ce cercle est :
$r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

2.c. Vérifions que $\overrightarrow{\Omega D} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ et déduisons que le point $C$ est le centre du cercle $(\Gamma)$ :

On a $\Omega(0, 3, 0)$ et $C(-1, 1, 2)$.
$\overrightarrow{C\Omega}(0 - (-1) \ ; \ 3 - 1 \ ; \ 0 - 2) \implies \overrightarrow{C\Omega}(1, 2, -2)$.

On remarque clairement que $\overrightarrow{C\Omega} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ (qui est le vecteur normal au plan).

Ainsi, la droite $(C\Omega)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.

• Vérifions que le point $C$ appartient au plan $(ABC)$ :

$(-1) + 2(1) - 2(2) + 3 = -1 + 2 - 4 + 3 = 0$.

Donc $C \in (ABC)$

Puisque la droite $(C\Omega)$ est orthogonale à $(ABC)$ et $C \in (ABC)$, le point $C$ est la **projection orthogonale** de $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.

1.a. Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique. (0.5 pt)
1.b. Vérifier que $b^2 = a$ et que $b\bar{b} = 1$. (0.5 pt)
1.c. Montrer que : $a - 1 = (2 - \sqrt{3})i(a + 1)$. (0.5 pt)
2.a. Vérifier que $d = b(b + \bar{b})$ et déduire que les points $O$, $B$ et $D$ sont alignés. (0.5 pt)
2.b. Déduire que $\arg(d) \equiv \frac{\pi}{12} \, [2\pi]$. (0.5 pt)
3.a. Vérifier que $\frac{a - c}{d} = (2 - \sqrt{3})i$ et déduire que les droites $(AC)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires. (0.5 pt)

3.b. Montrer que le quadrilatère $𝑂𝐶𝐷𝐴$ est un losange (0.5 pt)

1.a. Forme trigonométrique de $a$ : On a $a = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$.
Calculons le module : $|a| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.
On cherche l'argument $\theta$ tel que $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$, d'où $\theta \equiv \frac{\pi}{6} \, [2\pi]$.

1.b. Vérification des égalités de $b$ : • D'une part, on a $b = e^{i\frac{\pi}{12}}$, donc par les lois des puissances de la forme exponentielle :
$b^2 = \left(e^{i\frac{\pi}{12}}\right)^2 = e^{i\frac{2\pi}{12}} = e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a$. Donc $b^2 = a$.
• D'autre part, on sait que pour tout nombre complexe de module 1, le produit par son conjugué vaut 1 :
$b\bar{b} = |b|^2 = 1^2 = 1$. Donc $b\bar{b} = 1$.

1.c. Montrons que : $a - 1 = (2 - \sqrt{3})i(a + 1)$:

On a $a = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$, donc :
$a + 1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\right) + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3} + 2}{2} + \frac{1}{2}i$

Multiplions le membre de droite par $(2 - \sqrt{3})i$ :
$(2 - \sqrt{3})i \times (a + 1) = (2 - \sqrt{3})i \left[ \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right]$

$\phantom{(2 - \sqrt{3})i \times (a + 1)} = (2 - \sqrt{3}) \left[ \frac{2 + \sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}i^2 \right]$

$\phantom{(2 - \sqrt{3})i \times (a + 1)} = (2 - \sqrt{3}) \left[ -\frac{1}{2} + \frac{2 + \sqrt{3}}{2}i \right]$

$\phantom{(2 - \sqrt{3})i \times (a + 1)} = -\frac{2 - \sqrt{3}}{2} + i \frac{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2}$

Or, d'après l'identité remarquable :
$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

L'expression devient alors :
$-\frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \frac{\sqrt{3} - 2}{2} + \frac{1}{2}i = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) + \frac{1}{2}i$

D'autre part, calculons séparément le membre de gauche :
$a - 1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) - 1 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 1\right) + \frac{1}{2}i$

2.a. Expression de $d$ et Alignement : • Par la translation $T$ de vecteur $\vec{OC}$ (d'affixe $c=1$), on a $T(A)=D \implies d = a + c = a + 1$.
D'après la question 1.b, on sait que $a = b^2$ et $1 = b\bar{b}$. En remplaçant, on obtient :
$d = b^2 + b\bar{b} = b(b + \bar{b})$. Donc $d = b(b + \bar{b})$.
• Pour l'alignement, calculons le rapport des affixes : $\frac{d}{b} = \frac{b(b+\bar{b})}{b} = b + \bar{b} = 2\text{Re}(b)$.
Puisque $2\text{Re}(b) \in \mathbb{R}$, le rapport $\frac{d-0}{b-0}$ est un nombre réel pur.
Par conséquent, les points $O$, $B$ et $D$ sont strictement alignés.

2.b. Déduction de l'argument de $d$ : On a $d = b \times (2\text{Re}(b))$. Comme $b = e^{i\frac{\pi}{12}}$, alors $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) > 0$.
Ainsi, le nombre réel $2\text{Re}(b) = 2\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ est strictement positif.
Par les propriétés de l'argument : $\arg(d) \equiv \arg(b) + \arg(2\text{Re}(b)) \equiv \frac{\pi}{12} + 0 \, [2\pi]$.

3.a. Vérification et Perpendicularité des droites : • D'après la relation démontrée en 1.c, on a $a - 1 = (2 - \sqrt{3})i(a + 1)$.
Comme $c = 1$ et $d = a + 1$, en remplaçant on trouve : $a - c = (2 - \sqrt{3})i \times d$.
En divisant par $d$ ($d \neq 0$), on valide l'expression : $\frac{a - c}{d} = (2 - \sqrt{3})i$.
• Pour la perpendicularité, interprétons géométriquement l'argument de ce rapport :
$\arg\left(\frac{a - c}{d - 0}\right) \equiv \arg((2-\sqrt{3})i) \equiv \frac{\pi}{2} \quad [2\pi]$ (car $2-\sqrt{3} > 0$).
Cela se traduit géométriquement par l'angle des vecteurs : $(\vec{OD}, \vec{CA}) \equiv \frac{\pi}{2} \, [2\pi]$.

3.b. Montrons que le quadrilatère $OCDA$ est un losange :

On a $T(A) = D \iff \vec{AD} = \vec{OC}$.

Puisque $\vec{AD} = \vec{OC}$, le quadrilatère $OCDA$ est un parallélogramme .

Dans ce parallélogramme, les diagonales sont les droites $(AC)$ et $(OD)$.

D'après la question précédente (3.a), on a prouvé que $(AC) \perp (OD)$ (les diagonales sont perpendiculaires).

📌 Rappel géométrique : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange.

❌ Piège 1 : Erreur de signe lors du passage à la forme trigonométrique

Confondre l'argument d'un nombre complexe et écrire machinalement des signes positifs alors que la partie imaginaire ou réelle comporte un signe moins (ex: confondre l'argument de $a$ et de $\bar{a}$).

💡 Le Conseil d'AltiMath : Utilisez toujours le cercle trigonométrique de référence pour localiser le quadrant exact de l'affixe en fonction des signes de $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$.

❌ Piège 2 : Mauvais développement avec l'unité imaginaire $i$

Faire des erreurs de calcul basiques lors du développement d'expressions complexes (comme dans la question 1.c), notamment en oubliant que $i^2 = -1$, ce qui fausse toute la démonstration.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Isolez toujours le facteur $i$ et développez par étapes. Utilisez les identités remarquables réelles pour simplifier les expressions contenant des racines carrées comme $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$.

❌ Piège 3 : Justification incomplète de l'alignement des points

Affirmer que trois points $O$, $B$ et $D$ sont alignés uniquement en calculant le rapport $\frac{d}{b}$ sans mentionner explicitement que le résultat obtenu est un **nombre réel**.

💡 Le Conseil d'AltiMath : La condition d'alignement impose que $\frac{d-z_O}{b-z_O} \in \mathbb{R}$. Dans cet exercice, $b + \bar{b} = 2\text{Re}(b)$, ce qui est par définition un réel pur. Citez-le impérativement !

❌ Piège 4 : Conclure à un losange sans prouver le parallélogramme

Démontrer directement que les diagonales $(AC)$ et $(OD)$ sont perpendiculaires (Q3.a) et en déduire immédiatement que $OCDA$ est un losange, en oubliant l'étape intermédiaire.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Un losange est d'abord un parallélogramme. Vous devez obligatoirement utiliser la translation $T(A)=D \iff \vec{AD}=\vec{OC}$ pour justifier la nature du parallélogramme avant d'invoquer la perpendicularité des diagonales.

1.a. Montrer que $p(A) = \frac{14}{165}$ (0.5 pt)

1.b. Calculer $p(\overline{B})$, la probabilité de l'événement contraire de $B$ et déduire que $p(B) = \frac{27}{55}$ (0.5 pt)

2. Calculer la probabilité $p(A \cup B)$ (0.5 pt)

3. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées.

3.a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui représente la loi de probabilités de la variable aléatoire $X$ : (0.75 pt)

Donc : $p(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} = \mathbf{\frac{14}{165}}$

$E(X) = \frac{6}{11}$

❌ Piège 1 : L'application mécanique des combinaisons pour l'événement $A$

Calculer machinalement $\text{Card}(A) = C_5^3 + C_4^3 + C_2^3$ pour modéliser le tirage de trois boules de même couleur, en oubliant de vérifier la composition de l'urne.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Soyez toujours vigilant ! L'urne ne contient que 2 boules vertes, il est donc strictement impossible d'en tirer 3 simultanément. Le terme $C_2^3$ n'existe pas ($C_2^3 = 0$).

❌ Piège 2 : Mauvaise interprétation de l'expression "Au moins"

Vouloir dénombrer l'événement $B$ (« au moins une boule verte ») par un calcul direct fastidieux au lieu d'utiliser l'événement contraire, ce qui augmente le risque d'oublier des cas.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Le réflexe absolu face à « au moins une » est de passer par l'événement contraire $\overline{B}$ (« aucune boule verte ») en appliquant la formule standard : $p(B) = 1 - p(\overline{B})$.

❌ Piège 3 : Oublier de soustraire le produit de l'intersection $p(A \cap B)$

Appliquer la formule du calcul de l'union $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$ de manière systématique sans vérifier si les deux événements sont incompatibles ou non.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Écrivez toujours la formule complète : $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$. Justifiez ensuite par écrit que $A \cap B = \emptyset$ (car on ne peut pas avoir 3 boules de même couleur dont au moins une est verte) pour annuler le terme $p(A \cap B)$.

❌ Piège 4 : Remplir la loi de probabilité sans vérification de cohérence

Calculer les valeurs de $p(X=x_i)$ individuellement et les insérer dans le tableau de la loi de probabilité sans prendre le temps de vérifier la somme totale.

💡 Le Conseil d'AltiMath : C'est votre filet de sécurité à l'Examen National ! Faites la somme de vos résultats : $\sum p(X=x_i) = \frac{28}{55} + \frac{24}{55} + \frac{3}{55} = \frac{55}{55} = 1$. Si le total est différent de 1, révisez immédiatement vos calculs.

1.a. Calculer $g(1)$ et $h(1)$. [0.5 pt]

1.b. Résoudre l'équation $g(x) = 0$ dans l'intervalle $]0, +\infty[$. [0.5 pt]

Figure vectorielle HD : Représentation des courbes $(\mathcal{C}_g)$ et $(\mathcal{C}_h)$ avec délimitation de la surface d'intégration.

2.a. Justifier graphiquement que : pour tout $x \in ]0, 1]$, $h(x) - g(x) \leq 0$ et pour tout $x \in [1, +\infty[$, $h(x) - g(x) \geq 0$. [0.5 pt]

2.b. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $\int_{1}^{e} g(x) \, dx = e - 2$. [0.75 pt]

2.c. Vérifier que la fonction $H : x \mapsto e^{x-1}(x^2 - 2x + 2)$ est une primitive de la fonction $h$ sur $]0, +\infty[$, puis calculer $\int_{0}^{1} h(x) \, dx$. [0.75 pt]

2.d. Calculer l'aire du domaine hachuré sur le graphique précédent (en unité d'aire). [0.5 pt]

On obtient : $g(1) = 1 \quad \text{et} \quad h(1) = 1$

$\mathcal{S} = \{e\}$

🎯 D'où la valeur de l'intégrale : $\int_{1}^{e} g(x) \, dx = e - 2$

Partie II : On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = e^{x-1} - \frac{\ln x}{x^2}$

1.a. Vérifier que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, puis interpréter géométriquement ce résultat. [0.5 pt]

1.b. Vérifier que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. [0.25 pt]

1.c. Montrer que $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$, puis interpréter géométriquement ce résultat. [0.5 pt]

2.a. Montrer que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $f'(x) = \frac{h(x) - g(x)}{x^3}$. [0.75 pt]

2.b. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0, +\infty[$ (On peut utiliser la question 2.a de la partie I). [0.5 pt]

2.c. Déduire que pour tout $x$ de $]0, +\infty[$, $e^{x-1} \geq 1 + \frac{\ln x}{x^2}$. [0.5 pt]

3. Montrer que l'équation $f(x) = x$ admet une solution unique $\alpha$ tel que : $\frac{3}{2} < \alpha < 2$.
(On donne $f(2) \approx 2,37$ et $f\left(\frac{3}{2}\right) \approx 1,38$) [0.75 pt]

4. Soit $\varphi$ la restriction de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1, +\infty[$

4.a. Montrer que $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ que l'on déterminera.
(L'expression $\varphi^{-1}(x)$ n'est pas demandée.) [0.5 pt]

4.b. Justifier que la fonction $\varphi^{-1}$ est strictement croissante sur l'intervalle $J$. [0.25 pt]

5. Le graphique ci-dessous représente la courbe $(\mathcal{C}_\varphi)$ de la fonction $\varphi$ et la droite $(\Delta)$ d'équation $y = x$ dans un repère orthonormé.

$f'(x) = \mathbf{\frac{h(x) - g(x)}{x^3}}$

$x$	$0$	$1$	$+\infty$
$f'(x)$	||	$-$      $0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$	$1$ (Minimum)	$+\infty$

2.c. Déduction de l'inégalité : D'après le tableau de variations de $f$, le minimum absolu de $f$ sur $]0, +\infty[$ est atteint en $x=1$ avec $f(1)=1$.
Donc, pour tout $x > 0$, $f(x) \geq 1 \iff e^{x-1} - \frac{\ln x}{x^2} \geq 1$.

3. Application du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Posons la fonction auxiliaire $w(x) = f(x) - x$.
• $w$ est continue sur l'intervalle $\left[\frac{3}{2}, 2\right]$ comme différence de fonctions continues.
• $w\left(\frac{3}{2}\right) = f\left(\frac{3}{2}\right) - \frac{3}{2} \approx 1,38 - 1,50 = -0,12 < 0$.
• $w(2) = f(2) - 2 \approx 2,37 - 2 = 0,37 > 0$.
Puisque $w\left(\frac{3}{2}\right) \times w(2) < 0$, d'après le TVI, l'équation $w(x)=0 \iff f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ telle que : $\mathbf{\frac{3}{2} < \alpha < 2}$.

4.a. Existence de la fonction réciproque $\varphi^{-1}$ : La fonction $\varphi$ est la restriction de $f$ sur $[1, +\infty[$.
• $\varphi$ est continue sur $[1, +\infty[$.
• $\varphi$ est strictement croissante sur $[1, +\infty[$ (d'après le tableau de variations).
Par conséquent, $\varphi$ admet une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ définie sur l'intervalle $J$ tel que :
$J = \varphi([1, +\infty[) = \left[\varphi(1), \lim_{x \to +\infty} \varphi(x)\right[ = \mathbf{[1, +\infty[}$.

4.b. Monotonie de $\varphi^{-1}$ : D'après les propriétés fondamentales du cours, une fonction réciproque $\varphi^{-1}$ conserve **strictement le même sens de variation** que sa fonction d'origine $\varphi$.

❌ Piège 1 : Mauvaise interprétation géométrique des limites

Confondre les asymptotes et les branches paraboliques. Par exemple, écrire que la courbe admet une asymptote horizontale au lieu d'une asymptote verticale lorsque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Apprenez vos définitions par cœur. Si la limite en un point $a$ vaut l'infini, c'est une asymptote verticale ($x=a$). Si la limite en l'infini vaut un réel $b$, c'est une asymptote horizontale ($y=b$).

❌ Piège 2 : Oublier l'unité d'aire (u.a.) dans le calcul de la surface

Calculer la valeur numérique brute de l'intégrale $\int (g(x)-h(x))dx$ et oublier de multiplier le résultat final par la norme des vecteurs directeurs $\|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ lorsque l'unité est différente de $1\,\mathrm{cm}$.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Prenez toujours l'habitue d'écrire l'unité $\text{u.a.}$ à la fin du calcul. Si la norme de l'axe vaut $2\,\mathrm{cm}$, alors $1\,\text{u.a.} = 2 \times 2 = 4\,\mathrm{cm}^2$. Multipliez votre résultat par ce facteur !

❌ Piège 3 : Erreurs de signes dans l'intégration par parties

Se tromper dans l'application de la formule $[uv]_a^b - \int_a^b u'v\,dx$, notamment à cause du signe moins ($-$) distributif devant la seconde intégrale ou lors du calcul de la primitive de $v'(x)$.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Utilisez des parenthèses claires au brouillon. Pour la fonction $\ln x$, posez toujours $u(x)=\ln x$ car on ne connaît pas sa primitive directe, ce qui impose d'avoir $v'(x)=1$.

❌ Piège 4 : Justification bâclée du Théorème des Valeurs Intermédiaires

Affirmer que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ uniquement en vérifiant que $w(a) \times w(b) < 0$, sans mentionner les conditions de continuité et de monotonie stricte.

💡 Le Conseil d'AltiMath : Le mot "unique" impose trois piliers de rédaction : 1) Continuité de la fonction auxiliaire $w$, 2) Strict monotonie (croissante ou décroissante), 3) Le changement de signe ($w(a) \times w(b) < 0$).