Sommaire du Cours :
Guide du Calcul Intégral et Maîtrise des Outils (2BAC BIOF)I. Définition et Propriétés Fondamentales
1 Lien direct avec les fonctions primitives
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $F$ une fonction primitive de $f$ sur $I$. Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est le nombre réel noté :
💡 Remarque : Le choix de la primitive $F$ n'influence pas le résultat final car la constante d'intégration $C$ s'annule lors de la soustraction : $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)$.
Exemple d'application résolu
💡 Interprétation : Puisque la fonction $f(x) = x^3$ est impaire, l'intégrale sur l'intervalle symétrique $[-2 ; 2]$ est nulle car les deux aires ombragées sont égales mais de signes opposés.
2 Linéarité de l'intégrale
L'intégration est une opération linéaire. Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $I$, et pour tout réel $\alpha$ :
3 Relation de Chasles
Elle permet de découper un intervalle d'intégration en introduisant un point pivot $c$ :
📌 Utilité Examen : Indispensable pour calculer l'intégrale d'une fonction contenant une valeur absolue $|u(x)|$ après avoir étudié son signe.
Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} (3x^2 + e^x) \,dx$
• Étape 1 (Trouver la primitive) : La primitive de $3x^2$ est $x^3$ et celle de $e^x$ est $e^x$.
• Étape 2 (Poser les crochets) : $I = \Big[ x^3 + e^x \Big]_{0}^{1}$
• Étape 3 (Calculer la différence) : $I = (1^3 + e^1) - (0^3 + e^0) = (1 + e) - (0 + 1) = \mathbf{e}$
4 Positivité et Relation d'ordre
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \leqslant b$ :
- 🔹 Positivité : Si $f(x) \geqslant 0$ sur $[a;b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) \,dx \geqslant 0$.
- 🔹 Comparaison : Si $f(x) \leqslant g(x)$ sur $[a;b]$, alors $\int_{a}^{b} f(x) \,dx \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \,dx$.
II. Technique d'Intégration par Parties (IPP)
1. Formule fondamentale de l'IPP
Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a; b]$ telles que leurs dérivées $u'$ et $v'$ soient continues. La formule de l'intégration par parties s'énonce ainsi :
2. Choix des fonctions par la règle ALPES
Pour intégrer le produit de deux fonctions, le choix de la fonction $u(x)$ (celle que l'on va dériver) s'effectue selon l'ordre des lettres du mot ALPES (de gauche à droite) :
📌 Principe de priorité : La première fonction de la liste apparaissant dans l'intégrale sera posée comme $u(x)$. Par exemple, face au produit d'un Polynôme et d'une Exponentielle, le Polynôme (P) est prioritaire sur l'Exponentielle (E), donc $u(x)$ sera le Polynôme.
Calculer l'intégrale suivante : $J = \int_{1}^{e} x \cdot \ln(x) \,dx$
• Étape 1 (Application ALPES) : Produit d'un Polynôme ($x$) et d'un Logarithme ($\ln x$). Comme L précède P, on pose :
• Étape 2 (Développement de la formule) :
$J = \Big[ \frac{x^2}{2} \ln(x) \Big]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx$
$J = \Big( \frac{e^2}{2} \ln(e) - \frac{1^2}{2} \ln(1) \Big) - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} \,dx$
$J = \frac{e^2}{2} - \Big[ \frac{x^2}{4} \Big]_{1}^{e} = \frac{e^2}{2} - \Big( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \Big)$
• Résultat final simplifié : $J = \frac{2e^2}{4} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{e^2 + 1}{4}}$
Calculer l'intégrale suivante : $A = \int_{-2}^{0} |x^2 + x| \,dx$
On considère l'intégrale suivante : $A = \int_{-2}^{0} |x^2 + x| \,dx$
La fonction $x \mapsto x^2 + x$ est un polynôme de degré 2 qui s'annule en $-1$ et $0$. En étudiant son signe, on obtient :
Donc : $|x^2 + x| = x^2 + x$
Donc : $|x^2 + x| = -x^2 - x$
📢 Donc, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
$A = \left[ \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \right]_{-2}^{-1} + \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_{-1}^{0}$
$A = \left( \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{8}{3} + 2\right) \right) + \left( 0 - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) \right)$
$A = \left( \frac{1}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right) \right) + \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = \mathbf{1}$
💡 Remarque (L'œil du Prof) : À l'Examen National, l'erreur classique commise lors d'une IPP est d'inverser les rôles de $u(x)$ et $v'(x)$. Si vous posez par exemple $v'(x) = \ln(x)$, vous vous bloquerez car sa primitive immédiate n'est pas au programme direct. Appliquez la règle ALPES méthodiquement pour sécuriser vos points !
III. Applications Géométriques : Calcul d'Aires
1. Qu'est-ce que l'unité d'aire ($u.a.$) ?
Dans un repère orthonormé ou orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$, l'unité d'aire (notée $u.a.$) représente la surface du rectangle formé par les vecteurs de base. Elle se calcule par la formule suivante :
💡 Exemple : Si $\|\vec{i}\| = 2\mathrm{cm}$ et $\|\vec{j}\| = 2\mathrm{cm}$, alors $1 \, u.a. = 2 \times 2 = \mathbf{4\mathrm{cm}^2}$.
$1 \text{ u.a.} = 2\text{ cm} \times 2\text{ cm} = \mathbf{4\text{ cm}^2}$.
Il faudra multiplier le résultat final de l'intégrale par 4 pour obtenir la réponse en $\text{cm}^2$.
Si le repère est orthonormé avec $\|\vec{i}\|=1\mathrm{cm}$, alors $1 \, u.a. = \mathbf{1\mathrm{cm}^2}$.
2. Surface délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par la courbe représentative $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$ est donnée par :
$\mathcal{A} = \left(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\right) \mathrm{u.a.}$
IV. Calcul de Volumes de Solides de Révolution
1. Définition et Formule Fondamentale
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a; b]$. Le solide de révolution est le domaine de l'espace engendré par la rotation complète (de $360^\circ$) de la courbe $\mathcal{C}_f$ autour de l'axe des abscisses. Le volume $\mathcal{V}$ de ce solide se calcule grâce à la formule :
📌 Unité de volume ($u.v.$) : Dans un repère orthogonal, si $\|\vec{i}\| = 1\mathrm{cm}$, $\|\vec{j}\| = 1\mathrm{cm}$ et $\|\vec{k}\| = 1\mathrm{cm}$, alors $1 \, u.v. = 1 \times 1 \times 1 = \mathbf{1\mathrm{cm}^3}$. La formule générale est $1 \, u.v. = \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \times \|\vec{k}\|$.
2. Interprétation Graphique Tridimensionnelle (3D)
Le graphique ci-dessous illustre visuellement la rotation de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ autour de l'axe $(Ox)$, créant des sections circulaires de rayon $r = |f(x)|$ sur l'intervalle $[a; b]$ :
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Attention à deux pièges récurrents dans les questions de volume au National : Premièrement, n'oubliez jamais d'élever la fonction au carré $\mathbf{[f(x)]^2}$ avant de chercher sa primitive. Deuxièmement, n'oubliez pas le nombre $\mathbf{\pi}$ devant l'intégrale ! C'est lui qui traduit géométriquement la nature circulaire du solide engendré par la rotation.
2. Exemple type Examen National
Soit la fonction définie par $f(x) = \sqrt{x}$ sur l'intervalle $[0, 2]$. Calculons le volume $\mathcal{V}$ du solide engendré.
• Simplification du carré : $\mathcal{V} = \pi \int_{0}^{2} x \, dx \cdot \text{u.v.}$
• Intégration par primitive : $\mathcal{V} = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right) = \mathbf{2\pi \text{ u.v.}}$
• Si $1\text{ u.v.} = 1\text{ cm}^3$, alors le volume final est : $\mathbf{\mathcal{V} = 2\pi \text{ cm}^3 \approx 6,28 \text{ cm}^3}$.
Calcul du volume d'une boule de rayon R
Soit $\mathcal{B}$ une boule de centre $O$ (origine du repère) et de rayon $R$.
Pour tout $t \in [-R, R]$, l'intersection de $\mathcal{B}$ avec le plan d'équation $z = t$ est un disque de rayon $\sqrt{R^2 - t^2}$. Cette intersection possède une aire :
$S(t) = \pi(R^2 - t^2)$
$S$ est une fonction continue sur $[-R, R]$. On peut donc appliquer le théorème précédent et on obtient alors :
$V(\mathcal{B}) = \pi \left[ tR^2 - \frac{t^3}{3} \right]_{-R}^{R}$
$V(\mathcal{B}) = \pi \left( \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( -R^3 + \frac{R^3}{3} \right) \right) = \mathbf{\frac{4}{3}\pi R^3}$
💡 Remarque (L'œil du Prof) : C'est la démonstration historique de la formule classique du volume d'une sphère ! Retenez bien l'astuce : le plan horizontal coupe la boule en un disque dont le rayon varie selon l'altitude $t$ en appliquant le théorème de Pythagore. Ce type de raisonnement par section plane est très apprécié dans les épreuves du concours d'accès aux grandes écoles après le Baccalauréat.
V. Encadrement d’une Intégrale et Méthode des Rectangles
1. Encadrement par deux suites numériques
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone (par exemple croissante) sur un intervalle $[a; b]$. En divisant cet intervalle en $n$ subintervalles de même amplitude $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, on peut encadrer l'intégrale de $f$ par deux suites numériques $S_n$ (somme inférieure) et $T_n$ (somme supérieure) représentant des ( Sommes de Riemann) :
💡 Approximation de Riemann : D'après le théorème des gendarmes, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, les deux suites convergent vers la même limite unique, qui est la valeur exacte de l'intégrale.
2. Interprétation Graphique (Méthode des Rectangles)
Géométriquement, cette méthode consiste à approcher l'aire sous la courbe $(\mathcal{C}_f)$ par une somme d'aires de rectangles juxtaposés. Les rectangles intérieurs approchent la suite inférieure, tandis que les rectangles extérieurs dépassent la courbe :
💡 Remarque (L'œil du Prof) : C'est un grand classique des problèmes de synthèse mêlant suites et intégrales au Baccalauréat ! Rappelez-vous bien de la logique bicyclette : si $f$ est croissante, la somme commençant à $k=0$ est inférieure à l'intégrale (rectangles en dessous), et la somme commençant à $k=1$ est supérieure (rectangles au-dessus). Inverser ces bornes dans vos sigmas ($\Sigma$) détruit toute votre démonstration !
Explication:Interprétation par les Sommes de Riemann
Le graphique montre la subdivision de l'intervalle $[a; b]$ en $n$ rectangles de même largeur $\Delta x = \frac{b-a}{n}$. Sur chaque petit intervalle $[x_k \ ; \ x_{k+1}]$, on construit deux types de sommes de Riemann :
Elle correspond à la somme des aires des rectangles hachurés en bleu situés entièrement sous la courbe $\mathcal{C}$.
La hauteur de chaque rectangle est déterminée par la borne gauche $f(x_k)$.
$S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)$
Elle correspond à la somme des aires des grands rectangles bleus qui dépassent au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$.
La hauteur de chaque rectangle est déterminée par la borne droite $f(x_{k+1})$.
$T_n = \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)$
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Expliquez bien à vos élèves le passage à la limite : quand $n \to +\infty$, le nombre de rectangles devient infini et leur largeur $\Delta x$ tend vers $0$. Les deux sommes $S_n$ et $T_n$ se resserrent jusqu'à ce que l'écart disparaisse. C'est ce processus d'approximation qui justifie l'égalité de Riemann à l'Examen National !
Cas le plus fréquentFormule magique sur l'intervalle [0 , 1]
À l'Examen National, l'intervalle d'intégration est très souvent $[0 ; 1]$. En posant $a=0$ et $b=1$, l'amplitude devient $\Delta x = \frac{1}{n}$. La formule de convergence des sommes de Riemann se simplifie sous cette forme remarquable :
💡 Remarque (L'œil du Prof) : C'est la formule clé pour calculer la limite de certaines suites complexes construites sous forme de fractions ou de sommes. Dès que vous repérez le terme $\mathbf{\frac{1}{n}}$ devant un symbole $\mathbf{\Sigma}$ contenant des expressions en $\mathbf{\frac{k}{n}}$, transformez immédiatement la limite en une intégrale simple sur $\mathbf{[0 ; 1]}$. C'est une astuce qui fait gagner un temps précieux au National !
VI. Exercices d'Annales du National Corrigés
On considère la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0 \ ; \ 1]$ par : $f(x) = (x + 1)e^{-x}$.
- En utilisant une intégration par parties (IPP), calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{0}^{1} x e^{-x} \,dx$.
- En déduire la valeur exacte de l'intégrale générale du cours : $J = \int_{0}^{1} f(x) \,dx$.
- Soit le repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ avec $\|\vec{i}\| = 2\mathrm{cm}$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C}_f)$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.
💡 Remarque (Le mot de la fin par Prof) : Chers élèves de la deuxième année Baccalauréat, le calcul intégral est le couronnement de l'épreuve d'analyse. Prenez toujours le temps de bien rédiger l'étape de l'IPP en posant clairement votre système de fonctions au brouillon. C'est cette rigueur méthodologique qui fera la différence sur votre copie nationale !
Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $f(x) = (1 + \ln x)x$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ tel que $\|\vec{i}\| = 2\text{ cm}$.
- En utilisant une intégration par parties (IPP), montrer que : $\int_{1}^{e} x \ln x \, dx = \frac{e^2 + 1}{4}$.
- En déduire que : $\int_{1}^{e} f(x) \, dx = \frac{3e^2 - 1}{4}$.
- Calculer, en $\text{cm}^2$, l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$. (On donne $f(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $[1, e]$).
💡 Remarque (L'œil du Prof) : Remarquez bien l'élégance de cette question à l'Examen National ! Les concepteurs de l'épreuve choisissent souvent des mesures stratégiques pour la norme des vecteurs (comme $2\mathrm{cm}$) afin que l'unité d'aire ($\mathbf{4\mathrm{cm}^2}$) se simplifie harmonieusement avec le dénominateur issu du calcul intégral. Si vous commettez l'erreur classique d'oublier de multiplier le résultat numérique par l'unité d'aire ($\mathbf{u.a.}$), vous perdrez bêtement la totalité des points de cette question finale. Restez rigoureux jusqu'à la dernière ligne !
